2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.3 隨機事件的概率練習 理 北師大版

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1、12.3 隨機事件的概率核心考點精準研析考點一互斥事件、對立事件的判斷1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),那么以下各對事件是互斥而不是對立事件的是()A.恰有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)B.恰有1個是偶數(shù)和至少有1個是偶數(shù)C.至少有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)D.至少有1個是偶數(shù)和全是奇數(shù)2.100件產品中有5件次品,從這100件產品中任意取出3件,設E表示事件“3件產品全不是次品,F表示事件“3件產品全是次品,G表示事件“3件產品中至少有1件是次品,那么以下結論正確的選項是()A.F與G互斥B.E與G互斥但不對立C.E,F,G任意兩個事件均互斥D.E與G對立3.在以下六個事件中,隨機事件的個數(shù)

2、為()如果a,b都是實數(shù),那么a+b=b+a;從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號簽;沒有水分,種子發(fā)芽;某 總機在60秒內接到至少10次呼叫;在標準大氣壓下,水的溫度到達50 時沸騰;同性電荷,相互排斥.A.2B.3C.4D.54.在5張 卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,假設事件“2張全是移動卡的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡D.至少有一張移動卡【解析】1.選A.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),共有三種情況:A=兩個奇數(shù),B=一個奇數(shù)一個偶數(shù),C=兩個偶數(shù),且A

3、,B,C兩兩互斥,所以A:是互斥事件,但不是對立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是對立事件.2.選D.由題意得事件E與事件F不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時發(fā)生,是互斥事件;當事件F發(fā)生時,事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A、C錯.事件E與事件G中必有一個發(fā)生,所以事件E與事件G對立,所以B錯誤,D正確.3.選A.是必然事件;是不可能事件;是隨機事件.4.選A.至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡“兩張全是聯(lián)通卡兩個事件,它是“2張全是移動卡的對立事件.定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;

4、兩個事件,假設有且僅有一個發(fā)生,那么這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件集合法假設A,B滿足AB=,那么A,B是互斥事件假設A,B滿足,那么A,B是對立事件考點二隨機事件的頻率與概率【典例】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如表所示.這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結算時間/(分鐘/人)11.522.53(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值.(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(

5、將頻率視為概率)【解題導思】序號聯(lián)想解題(1)由“超過8件占55%聯(lián)想到“不超過8件 占45%.(2)拆分為三個事件的和事件【解析】(1)由得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為=1.9分鐘.(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘,

6、將頻率視為概率得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.因為A=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.1.求復雜互斥事件概率的2種方法(1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和.(2)間接法:先求該事件的對立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.當題目涉及“至多“至少型問題時,多考慮間接法.2.求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關鍵點求解該類問題的關鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計算出所求隨機事件出現(xiàn)

7、的頻數(shù).某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關.據(jù)統(tǒng)計,當X=70時,Y=460;X每增加10,Y增加5.近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表:近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過5

8、30(萬千瓦時)的概率.【解析】(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個,為160毫米的有7個,為200毫米的有3個,故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率(2)由可得Y=+425,故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時)=P(Y530)=P(X210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=+=.考點三互斥事件、對立事件的概率計算命題精解讀1.考什么:(1)考查隨機事件的頻率與概率的關系(2)考查互斥事件、對立事件的概念與概率計算問題2.怎么考:重點考查互斥事件、對立事件的概率計算,多數(shù)是以選擇題、填空題或解答題的一個

9、小題的形式考查3.新趨勢:結合新背景,考查互斥事件、對立事件的概率計算,或者與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算學霸好方法1.互斥事件、對立事件的概率問題的解決步驟:(1)明確區(qū)分互斥事件、對立事件.(2)應用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.2.交匯問題:解決與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算問題時,先用統(tǒng)計知識求頻數(shù),頻率,再求概率.互斥事件的概率【典例】(2021天津模擬)經統(tǒng)計,在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如表:排隊人數(shù)012345概率0.10.160.30.30.10.04那么該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有1人排隊的概率是.【解析】由表格可得至少

10、有1人排隊的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.答案:0.9對立事件的概率【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量(件)0123頻數(shù)1685試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結束后檢查存貨,假設發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,那么當天進貨補充至3件,否那么不進貨,將頻率視為概率.(1)設每銷售一件該商品獲利1 000元,某天銷售該商品獲利情況如表,完成下表,并求試銷期間日平均獲利錢數(shù);日獲利(元)01 0002 0003 000頻率(2)求第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)為3件的概率.【解析】(1)日獲利分別為0元,1

11、 000元,2 000元,3 000元的頻率分別為,;試銷期間日平均獲利數(shù)為0+1 000+2 000+3 000=1 850元.(2)由題意事件“第一天的銷售量為1件是對立事件,所以P(“第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)為3件)=1-P(“第一天的銷售量為1件)=1-=.互斥事件、對立事件的概率計算問題與統(tǒng)計等交匯【典例】A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查,調查結果如下:所用時間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L

12、1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡可能在允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑.【解析】(1)由共調查了100人,其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人,所以用頻率估計相應的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調查結果得頻率為:所用時間(分鐘)10202030304040505060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內趕到火車站;B1,B2分別表

13、示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內趕到火車站.由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)P(A2),所以甲應選擇L1,P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),所以乙應選擇L2.1.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果.?周髀算經?九章算術?海島算經?孫子算經?緝古算經?等10部專著,有著十分豐富多彩的內容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這10部專著中有7部產生于魏晉南北朝時期.某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化校本課程學習內容,那么所選2部專著中至

14、少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件A,那么所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時期專著為事件,所以P()=,因此P(A)=1-P()=1-=.2.(2021景德鎮(zhèn)模擬)空氣質量指數(shù)(AQI)是衡量空氣質量好壞的標準,下表是我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質量檢測數(shù)據(jù)中,隨機抽取的40天的統(tǒng)計結果:空氣質量指數(shù)(AQI)國家環(huán)保標準頻數(shù)(天)頻率0,50一級(優(yōu))4(50,100二級(良)20(100,150三級(輕度污染)8(150,200四級(中度污染)4(200,300五級(重度污染)3(300,

15、+)六級(嚴重污染)1(1)假設以這40天的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來估計,一年中(365天)該市有多少天的空氣質量到達優(yōu)良?(2)假設將頻率視為概率,某中學擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運動會,以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù),問:這三天空氣質量都達標(空氣質量屬一、二、三級內)的概率;這三天恰好有一天空氣質量不達標(指四、五、六級)的概率. 【解析】設pi(i=1、2、3、4、5、6)表示空氣質量到達第i級的概率,那么p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=,p6=.(1)依題意得365(p1+p2)=3650.6=219(天).(2)p1+p2+p3=0.8,p=0.83=0.512.p4+p5

16、+p6=+=0.2,P=0.20.80.8+0.80.20.8+0.80.80.2=30.20.82=0.384.1.根據(jù)以往30年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),中秋節(jié)晚上甲地陰天的頻率為0.4,乙地陰天的頻率為0.3,甲乙兩地都陰天的頻率為0.18,那么用頻率估計概率,今年中秋節(jié)晚上甲乙兩地都能賞月(即都不陰天)的概率為()A.0.88B.0.52C.0.42D.0.48【解析】選D.設事件A=“甲地陰天,事件B=“乙地陰天,所以P=0.4,P=0.3,P=0.18,那么甲乙兩地至少有一地陰天的概率為P=P+P-P=0.52,所以兩地都能賞月的概率為1-P=0.48.2.事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且P(A)=2P(B),那么P()=.【解析】因為事件A,B都不發(fā)生的概率為,所以P=1-=,又因為事件A,B互斥,所以P=P+P=,因為P(A)=2P(B),所以P(A)=,所以P()=1-=.答案:3.某人在一次射擊中,命中9環(huán)的概率為0.28,命中8環(huán)的概率為0.19,不夠8環(huán)的概率為0.29,那么這人在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率為.【解析】因為命中的情形可以分為:命中10環(huán),9環(huán),8環(huán),不夠8環(huán),可以看成4個兩兩互斥的事件,它們的概率之和為1,所以命中9環(huán)或10環(huán)的概率為1-0.19-0.29=0.52.答案:0.52- 9 -