2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 12.3 隨機(jī)事件的概率練習(xí) 理 北師大版

12.3 隨機(jī)事件的概率核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一互斥事件、對(duì)立事件的判斷 1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù),那么以下各對(duì)事件是互斥而不是對(duì)立事件的是()A.恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)B.恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù)C.至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)D.至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是奇數(shù)2.100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品,F表示事件“3件產(chǎn)品全是次品,G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A.F與G互斥B.E與G互斥但不對(duì)立C.E,F,G任意兩個(gè)事件均互斥D.E與G對(duì)立3.在以下六個(gè)事件中,隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()如果a,b都是實(shí)數(shù),那么a+b=b+a;從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號(hào)簽;沒有水分,種子發(fā)芽;某 總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少10次呼叫;在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的溫度到達(dá)50 時(shí)沸騰;同性電荷,相互排斥.A.2B.3C.4D.54.在5張 卡中,有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,假設(shè)事件“2張全是移動(dòng)卡的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡【解析】1.選A.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù),共有三種情況:A=兩個(gè)奇數(shù),B=一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù),C=兩個(gè)偶數(shù),且A,B,C兩兩互斥,所以A:是互斥事件,但不是對(duì)立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是對(duì)立事件.2.選D.由題意得事件E與事件F不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;當(dāng)事件F發(fā)生時(shí),事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A、C錯(cuò).事件E與事件G中必有一個(gè)發(fā)生,所以事件E與事件G對(duì)立,所以B錯(cuò)誤,D正確.3.選A.是必然事件;是不可能事件;是隨機(jī)事件.4.選A.至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡,一張聯(lián)通卡“兩張全是聯(lián)通卡兩個(gè)事件,它是“2張全是移動(dòng)卡的對(duì)立事件.定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件,假設(shè)有且僅有一個(gè)發(fā)生,那么這兩事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件集合法假設(shè)A,B滿足AB=,那么A,B是互斥事件假設(shè)A,B滿足,那么A,B是對(duì)立事件考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率 【典例】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示.這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53(1)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值.(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)由“超過8件占55%聯(lián)想到“不超過8件 占45%.(2)拆分為三個(gè)事件的和事件【解析】(1)由得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì),其估計(jì)值為=1.9分鐘.(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘,將頻率視為概率得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.因?yàn)锳=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為.1.求復(fù)雜互斥事件概率的2種方法(1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和.(2)間接法:先求該事件的對(duì)立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.當(dāng)題目涉及“至多“至少型問題時(shí),多考慮間接法.2.求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問題的關(guān)鍵點(diǎn)求解該類問題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù).某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計(jì),當(dāng)X=70時(shí),Y=460;X每增加10,Y增加5.近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表:近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時(shí))或超過530(萬千瓦時(shí))的概率.【解析】(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個(gè),為160毫米的有7個(gè),為200毫米的有3個(gè),故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率(2)由可得Y=+425,故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí))=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=+=.考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算 命題精解讀1.考什么:(1)考查隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系(2)考查互斥事件、對(duì)立事件的概念與概率計(jì)算問題2.怎么考:重點(diǎn)考查互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算,多數(shù)是以選擇題、填空題或解答題的一個(gè)小題的形式考查3.新趨勢(shì):結(jié)合新背景,考查互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算,或者與統(tǒng)計(jì)知識(shí)交匯考查隨機(jī)事件的概率計(jì)算學(xué)霸好方法1.互斥事件、對(duì)立事件的概率問題的解決步驟:(1)明確區(qū)分互斥事件、對(duì)立事件.(2)應(yīng)用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.2.交匯問題:解決與統(tǒng)計(jì)知識(shí)交匯考查隨機(jī)事件的概率計(jì)算問題時(shí),先用統(tǒng)計(jì)知識(shí)求頻數(shù),頻率,再求概率.互斥事件的概率【典例】(2021·天津模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì),在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如表:排隊(duì)人數(shù)012345概率0.10.160.30.30.10.04那么該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí),至少有1人排隊(duì)的概率是.【解析】由表格可得至少有1人排隊(duì)的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.答案:0.9對(duì)立事件的概率【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量(件)0123頻數(shù)1685試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,假設(shè)發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,那么當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否那么不進(jìn)貨,將頻率視為概率.(1)設(shè)每銷售一件該商品獲利1 000元,某天銷售該商品獲利情況如表,完成下表,并求試銷期間日平均獲利錢數(shù);日獲利(元)01 0002 0003 000頻率(2)求第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)為3件的概率.【解析】(1)日獲利分別為0元,1 000元,2 000元,3 000元的頻率分別為,;試銷期間日平均獲利數(shù)為0×+1 000×+2 000×+3 000×=1 850元.(2)由題意事件“第一天的銷售量為1件是對(duì)立事件,所以P(“第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)為3件)=1-P(“第一天的銷售量為1件)=1-=.互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算問題與統(tǒng)計(jì)等交匯【典例】A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時(shí)間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過計(jì)算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.【解析】(1)由共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人,所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為:所用時(shí)間(分鐘)10202030304040505060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2),所以甲應(yīng)選擇L1,P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),所以乙應(yīng)選擇L2.1.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.?周髀算經(jīng)?九章算術(shù)?海島算經(jīng)?孫子算經(jīng)?緝古算經(jīng)?等10部專著,有著十分豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,那么所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件A,那么所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件,所以P()=,因此P(A)=1-P()=1-=.2.(2021·景德鎮(zhèn)模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)是衡量空氣質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn),下表是我國(guó)南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取的40天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果:空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)國(guó)家環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)頻數(shù)(天)頻率0,50一級(jí)(優(yōu))4(50,100二級(jí)(良)20(100,150三級(jí)(輕度污染)8(150,200四級(jí)(中度污染)4(200,300五級(jí)(重度污染)3(300,+)六級(jí)(嚴(yán)重污染)1(1)假設(shè)以這40天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來估計(jì),一年中(365天)該市有多少天的空氣質(zhì)量到達(dá)優(yōu)良?(2)假設(shè)將頻率視為概率,某中學(xué)擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運(yùn)動(dòng)會(huì),以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù),問:這三天空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)(空氣質(zhì)量屬一、二、三級(jí)內(nèi))的概率;這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)(指四、五、六級(jí))的概率. 【解析】設(shè)pi(i=1、2、3、4、5、6)表示空氣質(zhì)量到達(dá)第i級(jí)的概率,那么p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=,p6=.(1)依題意得365×(p1+p2)=365×0.6=219(天).(2)p1+p2+p3=0.8,p=0.83=0.512.p4+p5+p6=+=0.2,P=0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2=3×0.2×0.82=0.384.1.根據(jù)以往30年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),中秋節(jié)晚上甲地陰天的頻率為0.4,乙地陰天的頻率為0.3,甲乙兩地都陰天的頻率為0.18,那么用頻率估計(jì)概率,今年中秋節(jié)晚上甲乙兩地都能賞月(即都不陰天)的概率為()A.0.88B.0.52C.0.42D.0.48【解析】選D.設(shè)事件A=“甲地陰天,事件B=“乙地陰天,所以P=0.4,P=0.3,P=0.18,那么甲乙兩地至少有一地陰天的概率為P=P+P-P=0.52,所以兩地都能賞月的概率為1-P=0.48.2.事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且P(A)=2P(B),那么P()=. 【解析】因?yàn)槭录嗀,B都不發(fā)生的概率為,所以P=1-=,又因?yàn)槭录嗀,B互斥,所以P=P+P=,因?yàn)镻(A)=2P(B),所以P(A)=,所以P()=1-=.答案:3.某人在一次射擊中,命中9環(huán)的概率為0.28,命中8環(huán)的概率為0.19,不夠8環(huán)的概率為0.29,那么這人在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率為. 【解析】因?yàn)槊械那樾慰梢苑譃?命中10環(huán),9環(huán),8環(huán),不夠8環(huán),可以看成4個(gè)兩兩互斥的事件,它們的概率之和為1,所以命中9環(huán)或10環(huán)的概率為1-0.19-0.29=0.52.答案:0.52- 9 -