2021版高考數學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.8曲線與方程（含軌跡問題）練習 理 北師大版

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1、10.8. 曲線與方程含軌跡問題核心考點精準研析考點一直接法求軌跡方程【典例】ABC的三個頂點分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定點P(1,1).(1)求ABC外接圓的標準方程;(2)假設過定點P的直線與ABC的外接圓交于E,F兩點,求弦EF中點的軌跡方程.【解析】(1)由題意得AC的中點坐標為(0,),AB的中點坐標為, kAC=,kAB=1,故AC中垂線的斜率為-,AB中垂線的斜率為-1,那么AC的中垂線的方程為y-=-x,AB的中垂線的方程為y-=-.由得所以ABC的外接圓圓心為(2,0),半徑r=2+1=3,故ABC外接圓的標準方程為(x-2)2+y2=9.(2)設弦E

2、F的中點為M(x,y),ABC外接圓的圓心為N,那么N(2,0),由MNMP,得=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中點的軌跡方程為+=.直接法求軌跡方程的思路直接法求軌跡方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程,要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設點、列式、代換、化簡、證明這六個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系那么可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性.1.點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且=,那么動點P的軌跡C的方程為(

3、)A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x2.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.那么動點P的軌跡方程為_.【解析】(1)選A.設點P(x,y),那么Q(x,-1).因為=,所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以動點P的軌跡C的方程為x2=4y.(2)因為點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,所以點B的坐標為(1,-1).設點P的坐標為(x,y),由題意得=-,化簡得x2+3y2=4(x1).故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4

4、(x1).答案:x2+3y2=4(x1)考點二定義法求軌跡方程【典例】1.圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.2.如圖,ABC的兩頂點坐標A(-1,0),B(1,0),圓E是ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M,求曲線M的方程.【解析】1.如下圖,設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B,那么有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=

5、|BC2|-|AC1|=3-1=2,即動點M到兩定點C2,C1的距離的差是常數2,且2|MC1|,故動圓圓心M的軌跡為以定點C2,C1為焦點的雙曲線的左支,那么2a=2,所以a=1.又c=3,那么b2=c2-a2=8.設動圓圓心M的坐標為(x,y),那么動圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x-1).2.由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲線M是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點).設曲線M:+=1(ab0,y0),那么a2=4,b2=a2-=3,所以曲線M的方程為+=1(y0).1.定義法的適用范圍假設動點運動

6、的規(guī)律滿足某種曲線的定義,那么可根據曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程.2.注意2個易誤點(1)因對圓錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或無視某些限制條件而失誤.在利用定義法求軌跡方程時一定要正確應用圓錐曲線的定義.(如典例1中,動點M的軌跡是雙曲線的一支,故應限制條件x-1)(2)不會遷移應用條件,而找不到解題思路,而無法解題.(如典例2中,假設不能正確轉化|CA|+|CB|,那么很難求出曲線M的軌跡方程)M(-2,0),N(2,0),那么以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為()A.x2+y2=2B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x2) D.x2+

7、y2=4(x2)【解析】選D.MN的中點為原點O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的軌跡是以原點O為圓心,以r=2為半徑的圓,除去與x軸的兩個交點.考點三相關點法求軌跡方程【典例】如圖,P是橢圓+y2=1上一點,PMx軸于M.假設=.(1)求點N的軌跡方程.(2)當點N的軌跡為圓時,求的值.【解析】(1)設點P,點N的坐標分別為P(x1,y1),N(x,y),那么M的坐標為(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因為P(x1,y1)在橢圓+y2=

8、1上,那么+=1,所以+(1+)2y2=1,故+(1+)2y2=1為所求的點N的軌跡方程.(2)要使點N的軌跡為圓,那么(1+)2=,解得=-或=-.故當=-或=-時,N點的軌跡是圓.相關點法求曲線方程的四個步驟:第一步設出所求動點坐標P(x,y)第二步尋求所求動點P(x,y)與動點Q(x,y)的關系第三步建立P,Q兩坐標間的關系,并表示出x,y第四步將x,y代入曲線方程中化簡求解(2021西安模擬)拋物線y2=4x,焦點為F,頂點為O,點P在拋物線上移動,Q是OP的中點,M是FQ的中點,那么點M的軌跡方程是()A.y2=x-1B.y2=2(x-)C.y2=2(x-1)D.y2=x-【解析】選

9、D.設M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦點F的坐標為(1,0).因為M是FQ的中點,所以即又Q是OP的中點,所以即因為P在拋物線y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M點的軌跡方程為y2=x-.【變式備選】1.方程ax2-ay2=b,且ab0,那么它表示的曲線是()A.焦點在x軸上的雙曲線B.焦點在y軸上的雙曲線C.圓D.橢圓【解析】選B.當ab|AB|=6,又因為P,A,B三點不共線,故點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓的一局部.4.直線y=mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點,那么實數m的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選A.因為直線y=mx+3m=m(x+3)經過定點P(-3,0),m為斜率;曲線y=是以原點為圓心,半徑r=2的圓的上半圓,所以同一坐標系內作出它們的圖像,如圖,當直線與半圓切于A點時,它們有唯一公共點,此時,直線的傾斜角滿足sin =,所以cos =,可得直線的斜率m=tan =,當直線y=mx+3m的傾斜角由此位置變小時,兩圖像有兩個不同的交點,直到直線斜率m變成0為止,由此可得當0m時,直線y=mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點.- 8 -