2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.8曲線與方程（含軌跡問題）練習(xí) 理 北師大版

10.8. 曲線與方程含軌跡問題核心考點·精準(zhǔn)研析考點一直接法求軌跡方程 【典例】ABC的三個頂點分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定點P(1,1).(1)求ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)假設(shè)過定點P的直線與ABC的外接圓交于E,F兩點,求弦EF中點的軌跡方程.【解析】(1)由題意得AC的中點坐標(biāo)為(0,),AB的中點坐標(biāo)為, kAC=,kAB=1,故AC中垂線的斜率為-,AB中垂線的斜率為-1,那么AC的中垂線的方程為y-=-x,AB的中垂線的方程為y-=-.由得所以ABC的外接圓圓心為(2,0),半徑r=2+1=3,故ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9.(2)設(shè)弦EF的中點為M(x,y),ABC外接圓的圓心為N,那么N(2,0),由MNMP,得·=0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中點的軌跡方程為+=.直接法求軌跡方程的思路直接法求軌跡方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這六個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標(biāo)系那么可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性.1.點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且·=·,那么動點P的軌跡C的方程為()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.那么動點P的軌跡方程為_. 【解析】(1)選A.設(shè)點P(x,y),那么Q(x,-1).因為·=·,所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以動點P的軌跡C的方程為x2=4y.(2)因為點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,所以點B的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得·=-,化簡得x2+3y2=4(x±1).故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x±1).答案:x2+3y2=4(x±1)考點二定義法求軌跡方程 【典例】1.圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.2.如圖,ABC的兩頂點坐標(biāo)A(-1,0),B(1,0),圓E是ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M,求曲線M的方程.【解析】1.如下圖,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B,那么有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即動點M到兩定點C2,C1的距離的差是常數(shù)2,且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,故動圓圓心M的軌跡為以定點C2,C1為焦點的雙曲線的左支,那么2a=2,所以a=1.又c=3,那么b2=c2-a2=8.設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),那么動圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x-1).2.由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線M是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點).設(shè)曲線M:+=1(a>b>0,y0),那么a2=4,b2=a2-=3,所以曲線M的方程為+=1(y0).1.定義法的適用范圍假設(shè)動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義,那么可根據(jù)曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程.2.注意2個易誤點(1)因?qū)A錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或無視某些限制條件而失誤.在利用定義法求軌跡方程時一定要正確應(yīng)用圓錐曲線的定義.(如典例1中,動點M的軌跡是雙曲線的一支,故應(yīng)限制條件x-1)(2)不會遷移應(yīng)用條件,而找不到解題思路,而無法解題.(如典例2中,假設(shè)不能正確轉(zhuǎn)化|CA|+|CB|,那么很難求出曲線M的軌跡方程)M(-2,0),N(2,0),那么以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為()A.x2+y2=2B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x±2) D.x2+y2=4(x±2)【解析】選D.MN的中點為原點O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的軌跡是以原點O為圓心,以r=2為半徑的圓,除去與x軸的兩個交點.考點三相關(guān)點法求軌跡方程 【典例】如圖,P是橢圓+y2=1上一點,PMx軸于M.假設(shè)=.(1)求點N的軌跡方程.(2)當(dāng)點N的軌跡為圓時,求的值.【解析】(1)設(shè)點P,點N的坐標(biāo)分別為P(x1,y1),N(x,y),那么M的坐標(biāo)為(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因為P(x1,y1)在橢圓+y2=1上,那么+=1,所以+(1+)2y2=1,故+(1+)2y2=1為所求的點N的軌跡方程.(2)要使點N的軌跡為圓,那么(1+)2=,解得=-或=-.故當(dāng)=-或=-時,N點的軌跡是圓.相關(guān)點法求曲線方程的四個步驟:第一步設(shè)出所求動點坐標(biāo)P(x,y)第二步尋求所求動點P(x,y)與動點Q(x,y)的關(guān)系第三步建立P,Q兩坐標(biāo)間的關(guān)系,并表示出x,y第四步將x,y代入曲線方程中化簡求解(2021·西安模擬)拋物線y2=4x,焦點為F,頂點為O,點P在拋物線上移動,Q是OP的中點,M是FQ的中點,那么點M的軌跡方程是()A.y2=x-1B.y2=2(x-)C.y2=2(x-1)D.y2=x-【解析】選D.設(shè)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦點F的坐標(biāo)為(1,0).因為M是FQ的中點,所以即又Q是OP的中點,所以即因為P在拋物線y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M點的軌跡方程為y2=x-.【變式備選】1.方程ax2-ay2=b,且ab<0,那么它表示的曲線是()A.焦點在x軸上的雙曲線B.焦點在y軸上的雙曲線C.圓D.橢圓【解析】選B.當(dāng)ab<0時,方程ax2-ay2=b化簡得y2-x2=-,方程表示雙曲線.焦點坐標(biāo)在y軸上.2.曲線:y2=x;x2+y2=1;y=x3;x2-y2=1.上述四條曲線中,滿足“假設(shè)曲線與直線y=kx+b有且僅有一個公共點,那么它們必相切的曲線的序號是()A.B.C.D.【解析】選B.當(dāng)直線y=kx+b和拋物線y2=x的對稱軸平行時,曲線與直線有且僅有一個公共點,但此時直線不是切線,故錯誤,當(dāng)直線y=kx+b和圓x2+y2=1只有一個公共點時,直線與圓相切,故正確,當(dāng)直線y=kx+b和x軸平行時,直線和y=x3只有一個交點,但此時直線和曲線不相切,故錯誤,當(dāng)直線y=kx+b和雙曲線x2-y2=1的漸近線平行時,直線和雙曲線有一個交點,但此時直線y=kx+b和雙曲線不相切,故錯誤,故正確的只有.3.如圖,PAB所在的平面和四邊形ABCD所在的平面互相垂直,且AD,BC,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,假設(shè)tanADP+2tanBCP=10,那么點P在平面內(nèi)的軌跡是()A.圓的一局部B.橢圓的一局部C.雙曲線的一局部D.拋物線的一局部【解析】選B.由題意知+2×=10,那么|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因為P,A,B三點不共線,故點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓的一局部.4.直線y=mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點,那么實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選A.因為直線y=mx+3m=m(x+3)經(jīng)過定點P(-3,0),m為斜率;曲線y=是以原點為圓心,半徑r=2的圓的上半圓,所以同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像,如圖,當(dāng)直線與半圓切于A點時,它們有唯一公共點,此時,直線的傾斜角滿足sin =,所以cos =,可得直線的斜率m=tan =,當(dāng)直線y=mx+3m的傾斜角由此位置變小時,兩圖像有兩個不同的交點,直到直線斜率m變成0為止,由此可得當(dāng)0m<時,直線y=mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點.- 8 -