2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.2 直線的交點坐標與距離公式練習(xí) 理 北師大版

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1、10.2 直線的交點坐標與距離公式核心考點精準研析考點一兩直線的位置關(guān)系1.直線l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,那么“m=2是“l(fā)1l2的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.(2021濟南模擬)“m=3是“直線l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0與直線l2:(m-3)x+2y-5=0垂直的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3. 直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,那么當l1l2時,a的值為_.4.直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:

2、x+ay+a2-1=0,那么當l1l2時, a的值為_.【解析】1.選C.由l1l2得-m(m-1)=1(-2),得m=2或m=-1,經(jīng)驗證,當m=-1時,直線l1與l2重合,舍去,所以“m=2是“l(fā)1l2的充要條件.2.選A.由l1l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.3.方法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當a1且a0時,兩直線方程可化為l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得 解得a=-1.綜上可知,a=-1.方法二:由l1l2知

3、 即a=-1.答案:-14.方法一:當a=0時,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1與l2垂直,故a=0符合;當a0時,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,由l1l2,得=-1,所以此時不成立.方法二:因為l1l2,所以A1A2+B1B2=0,即a+2a=0,得a=0.答案:01.解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想2.在判斷兩直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.考點二兩條直線的相交、距離問題【典例】1.(2021北京模擬)點M(0,-1),點N在直線x-y+1=0上,假設(shè)直線MN垂直于直線x+2y-3=0, 那么點N的坐標是()A.(-2,-1)B.(2

4、,3)C.(2,1)D.(-2,1)2.點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,那么a的取值范圍是_.3.假設(shè)兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,那么c的值是_.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由N為直線MN和直線x-y+1=0的交點,想到聯(lián)立兩直線方程求交點.2由點P到直線4x-3y-1=0的距離想到點到直線的距離公式解題.3由題意聯(lián)想到兩平行線間距離公式.【解析】1.選B.因為點N在直線x-y+1=0上,所以可設(shè)點N坐標為(x0,x0+1).根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,得kMN=.因為直線MN垂直于直線x+2y-3=0,直線x+2y-3=0的斜率k=-,

5、所以kMN=-1,即=2,解得x0=2.因此點N的坐標是(2,3).2.由題意得,點P到直線4x-3y-1=0的距離為=.又3,即|15-3a|15,解之得0a10,所以a的取值范圍是0,10.答案:0,103.依題意知,=,解得a=-4,c-2,即直線6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,又兩平行線之間的距離為,所以=,解得c=2或-6.答案:2或-61.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.處理距離問題的兩大策略(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求.(2)動點到兩定點距離相等,一般不直

6、接利用兩點間距離公式處理,而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上,從而簡化計算.3.利用距離公式應(yīng)注意:(1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分別化為相等.1.求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點,且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為_.2.直線l過點P(-1,2)且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,那么直線l的方程為_.【解析】1.由得所以l1與l2的交點坐標為(1,3).設(shè)與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為x+2y+c=0

7、,那么1+23+c=0,所以c=-7.所以所求直線方程為x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意.方法二:當ABl時,有k=kAB=-,直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.當l過AB中點時,AB的中點為(-1,4),所以直線l的方程為x=-1.故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5

8、=0或x=-1考點三對稱問題命題精解讀1.考什么:(1)兩直線的垂直關(guān)系;(2)中點坐標公式.2.怎么考:1.直接求對稱點或直線;2.求解折線最短問題;3.求三角形的角平分線的方程.3.新趨勢:1.折線最短問題;2.以點的對稱為載體與圓、不等式等結(jié)合.學(xué)霸好方法兩種對稱問題的處理方法(1)點關(guān)于直線的對稱:假設(shè)兩點P1 (x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,那么線段P1P2的中點在l上,而且連接P1P2的直線垂直于l,列出方程組,可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直線關(guān)于直線的對稱:此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱

9、來解決,有兩種情況:一是直線與對稱軸相交;二是直線與對稱軸平行.點關(guān)于點的對稱【典例】過點P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,那么直線l的方程為_.【解析】設(shè)l1與l的交點為A(a,8-2a),那么由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0點P與直線l與直線l1,l2的交點有何關(guān)系?提示:點P是直線l與直線l1,l2的交點所連接線段的中點.點關(guān)于直線的對稱【典例】(20

10、21淮安模擬)入射光線經(jīng)過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點N(2,6),那么反射光線所在直線的方程為_.【解析】設(shè)點M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點為M(a,b),那么反射光線所在直線過點M,所以解得a=1,b=0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6).所求直線的方程為=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0點M和它的對稱點M的連線段MM與直線l有什么關(guān)系?提示:垂直直線關(guān)于直線對稱【典例】(2021鄭州模擬)直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是 ()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=

11、0【解析】選A.設(shè)所求直線上任意一點P(x,y),那么P關(guān)于x-y+2=0的對稱點為P(x0,y0),因為PP的中點在直線x-y+2=0上,又因為kPP1=-1,所以由得由點P(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.是否可以在直線2x-y+3=0上取一個特殊點求解?提示:可以取直線2x-y+3=0上兩點并求出其關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點,根據(jù)兩對稱點求直線方程.1.(2021岳陽模擬)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】選D.方

12、法一:設(shè)所求直線上任一點為(x,y),那么它關(guān)于x=1的對稱點(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化簡得x+2y-3=0.方法二:根據(jù)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點在直線x=1上知選D.2.從點(2,3)射出的光線沿與向量a=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上,那么反射光線所在的直線方程為()A.x+2y-4=0B.2x+y-1=0C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0【解析】選A.由直線與向量a=(8,4)平行知,過點(2,3)的直線的斜率k=,所以直線的方程為y-3=(x-2),其與y軸的交點坐標為

13、(0,2),又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線過點(-2,3)與(0,2),由兩點式知A正確.1.直線l:x-2y+8=0和兩點A(2,0),B(-2,-4).在直線l上求一點P,使|PA|+|PB|最小.【解析】設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A(m,n),那么解得故A(-2,8).P為直線l上的一點,那么|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,當且僅當B,P,A三點共線時,|PA|+|PB|取得最小值,為|AB|,點P即是直線AB與直線l的交點,解方程組得故所求的點P的坐標為(-2,3).2.直線l:3x-y+3=0,求:(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點.(2)直線

14、x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程.(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.【解析】(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點為P(x,y),因為kPPkl=-1,即3=-1.又PP的中點在直線3x-y+3=0上,所以3-+3=0.由得把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P的坐標為(-2,7).(2)用(1)中的分別代換x-y-2=0中的x,y,得關(guān)于l對稱的直線方程為-2=0,化簡得7x+y+22=0.(3)在直線l:3x-y+3=0上取點M(0,3),關(guān)于(1,2)的對稱點M(x,y),所以=1,x=2,=2,y=1,所以M(2,1).l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l,所以k=3,所以對稱直線方程為y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.- 9 -