2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.2 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式練習(xí) 理 北師大版

10.2 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一兩直線的位置關(guān)系 1.直線l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,那么“m=2是“l(fā)1l2的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.(2021·濟(jì)南模擬)“m=3是“直線l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0與直線l2:(m-3)x+2y-5=0垂直的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3. 直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,那么當(dāng)l1l2時,a的值為_. 4.直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+ay+a2-1=0,那么當(dāng)l1l2時, a的值為_. 【解析】1.選C.由l1l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)m=-1時,直線l1與l2重合,舍去,所以“m=2是“l(fā)1l2的充要條件.2.選A.由l1l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.3.方法一:當(dāng)a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時,兩直線方程可化為l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得 解得a=-1.綜上可知,a=-1.方法二:由l1l2知 即a=-1.答案:-14.方法一:當(dāng)a=0時,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1與l2垂直,故a=0符合;當(dāng)a0時,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,由l1l2,得·=-1,所以此時不成立.方法二:因?yàn)閘1l2,所以A1A2+B1B2=0,即a+2a=0,得a=0.答案:01.解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想2.在判斷兩直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.考點(diǎn)二兩條直線的相交、距離問題 【典例】1.(2021·北京模擬)點(diǎn)M(0,-1),點(diǎn)N在直線x-y+1=0上,假設(shè)直線MN垂直于直線x+2y-3=0, 那么點(diǎn)N的坐標(biāo)是()A.(-2,-1)B.(2,3)C.(2,1)D.(-2,1)2.點(diǎn)P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,那么a的取值范圍是_. 3.假設(shè)兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,那么c的值是_.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由N為直線MN和直線x-y+1=0的交點(diǎn),想到聯(lián)立兩直線方程求交點(diǎn).2由點(diǎn)P到直線4x-3y-1=0的距離想到點(diǎn)到直線的距離公式解題.3由題意聯(lián)想到兩平行線間距離公式.【解析】1.選B.因?yàn)辄c(diǎn)N在直線x-y+1=0上,所以可設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(x0,x0+1).根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,得kMN=.因?yàn)橹本€MN垂直于直線x+2y-3=0,直線x+2y-3=0的斜率k=-,所以kMN×=-1,即=2,解得x0=2.因此點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2,3).2.由題意得,點(diǎn)P到直線4x-3y-1=0的距離為=.又3,即|15-3a|15,解之得0a10,所以a的取值范圍是0,10.答案:0,103.依題意知,=,解得a=-4,c-2,即直線6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,又兩平行線之間的距離為,所以=,解得c=2或-6.答案:2或-61.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.處理距離問題的兩大策略(1)點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求.(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等,一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理,而是轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)在以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上,從而簡化計(jì)算.3.利用距離公式應(yīng)注意:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分別化為相等.1.求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點(diǎn),且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為_. 2.直線l過點(diǎn)P(-1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-4,5)的距離相等,那么直線l的方程為_. 【解析】1.由得所以l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).設(shè)與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為x+2y+c=0,那么1+2×3+c=0,所以c=-7.所以所求直線方程為x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意.方法二:當(dāng)ABl時,有k=kAB=-,直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時,AB的中點(diǎn)為(-1,4),所以直線l的方程為x=-1.故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5=0或x=-1考點(diǎn)三對稱問題 命題精解讀1.考什么:(1)兩直線的垂直關(guān)系;(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式.2.怎么考:1.直接求對稱點(diǎn)或直線;2.求解折線最短問題;3.求三角形的角平分線的方程.3.新趨勢:1.折線最短問題;2.以點(diǎn)的對稱為載體與圓、不等式等結(jié)合.學(xué)霸好方法兩種對稱問題的處理方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱:假設(shè)兩點(diǎn)P1 (x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,那么線段P1P2的中點(diǎn)在l上,而且連接P1P2的直線垂直于l,列出方程組,可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直線關(guān)于直線的對稱:此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是直線與對稱軸相交;二是直線與對稱軸平行.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱【典例】過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分,那么直線l的方程為_. 【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8-2a),那么由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0點(diǎn)P與直線l與直線l1,l2的交點(diǎn)有何關(guān)系?提示:點(diǎn)P是直線l與直線l1,l2的交點(diǎn)所連接線段的中點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于直線的對稱【典例】(2021·淮安模擬)入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),那么反射光線所在直線的方程為_.【解析】設(shè)點(diǎn)M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點(diǎn)為M(a,b),那么反射光線所在直線過點(diǎn)M,所以解得a=1,b=0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6).所求直線的方程為=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0點(diǎn)M和它的對稱點(diǎn)M的連線段MM與直線l有什么關(guān)系?提示:垂直直線關(guān)于直線對稱【典例】(2021·鄭州模擬)直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是 ()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0【解析】選A.設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),那么P關(guān)于x-y+2=0的對稱點(diǎn)為P(x0,y0),因?yàn)镻P的中點(diǎn)在直線x-y+2=0上,又因?yàn)閗PP×1=-1,所以由得由點(diǎn)P(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.是否可以在直線2x-y+3=0上取一個特殊點(diǎn)求解?提示:可以取直線2x-y+3=0上兩點(diǎn)并求出其關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn),根據(jù)兩對稱點(diǎn)求直線方程.1.(2021·岳陽模擬)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】選D.方法一:設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x,y),那么它關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化簡得x+2y-3=0.方法二:根據(jù)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線x=1上知選D.2.從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上,那么反射光線所在的直線方程為()A.x+2y-4=0B.2x+y-1=0C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0【解析】選A.由直線與向量a=(8,4)平行知,過點(diǎn)(2,3)的直線的斜率k=,所以直線的方程為y-3=(x-2),其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(-2,3),所以反射光線過點(diǎn)(-2,3)與(0,2),由兩點(diǎn)式知A正確.1.直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4).在直線l上求一點(diǎn)P,使|PA|+|PB|最小.【解析】設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A(m,n),那么解得故A(-2,8).P為直線l上的一點(diǎn),那么|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,A三點(diǎn)共線時,|PA|+|PB|取得最小值,為|AB|,點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn),解方程組得故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3).2.直線l:3x-y+3=0,求:(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn).(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程.(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.【解析】(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P(x,y),因?yàn)閗PP·kl=-1,即×3=-1.又PP的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上,所以3×-+3=0.由得把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,7).(2)用(1)中的分別代換x-y-2=0中的x,y,得關(guān)于l對稱的直線方程為-2=0,化簡得7x+y+22=0.(3)在直線l:3x-y+3=0上取點(diǎn)M(0,3),關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M(x,y),所以=1,x=2,=2,y=1,所以M(2,1).l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l,所以k=3,所以對稱直線方程為y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.- 9 -