2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí) 理 北師大版

《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí) 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí) 理 北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例核心考點精準(zhǔn)研析考點一測量距離問題1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60m,那么河流的寬度BC=()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m2.一船以每小時15km的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60,行駛4小時后,船到達(dá)C處,看到這個燈塔在北偏東15,這時船與燈塔的距離為()A.60kmB.60kmC.30kmD.30km3.(2021衡陽模擬)如圖,為了測量A,C兩點間的距離,選取同一平面上B,D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB=5

2、,BC=8,CD=3,DA=5,且B與D互補(bǔ),那么AC的長為() A.7kmB.8kmC.9kmD.6km4.如圖,海中有一小島C,一小船從A地出發(fā)由西向東航行,望見小島C在北偏東60,航行8海里到達(dá)B處,望見小島C在北偏東15,假設(shè)此小船不改變航行的方向繼續(xù)前行2(-1)海里,那么離小島C的距離為 ()A.8(+2)海里B.2(-1)海里C.2(+1)海里D.4(+1)海里【解析】1.選C.記氣球在地面的投影為D,在RtABD中,cos15=,又cos15=cos(60-45)=,所以AB=.在ABC中,由正弦定理得=,所以BC=AB=120(-1)(m).2.選A.畫出圖形如下圖,在ABC

3、中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船與燈塔的距離為60km.3.選A.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即AC2=25+64-258cosB=89-80cosB.在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD,即AC2=25+9-253cosD=34-30cosD.因為B與D互補(bǔ),所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).4.選C.BC=4,所以離小島C的距離為=2(+1)海里.距離問題的常見類型及解法1.類型:測量距離問題常分為三種類型:山兩側(cè)、河兩岸、河對岸.2.解法:選

4、擇適宜的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將實際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.【秒殺絕招】直角三角形解T1,記氣球在地面的投影為D,在RtACD中,tan60=,所以CD=60,在RtABD中,因為tan15=,tan15=tan(60-45)=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).考點二測量高度問題【典例】1.一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30和60,那么塔高為()A.mB.mC.mD.m2.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1

5、的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.那么從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為;塔BB1的高為m. 【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由“測得一塔頂與塔底的俯角分別是30和60,想到作圖,建立數(shù)學(xué)模型2由“60m“從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍“從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,想到A1ACCBB1【解析】1.選A.如下圖.在RtACD中,CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).2.設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為,那么AA1=60

6、tanm,BB1=60tan2m.因為從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,所以A1ACCBB1,所以=,所以AA1BB1=900,所以3600tantan2=900,所以tan=(負(fù)值舍去),所以tan2=,BB1=60tan2=45m.答案:45求解高度問題的關(guān)注點1.在處理有關(guān)高度問題時,要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.1.(2021宜春模擬)某工廠實施煤改電工程防治霧霾,欲撤除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C,D,測得BCD=75,

7、BDC=60,CD=40米,并在點C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30,且CE=1米,那么煙囪高AB=米.【解析】CBD=180-BCD-BDC=45,在CBD中,由正弦定理得BC=20,所以AB=1+tan30CB=1+20(米).答案:(1+20)2.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,那么此山的高度CD=m.【解析】在ABC中,CAB=30,ACB=75-30=45,根據(jù)正弦定理知,=,即BC=sinBAC=300(m),所以CD=BCtanDBC=300=10

8、0(m).答案:100考點三測量角度問題命題精解讀1.考什么:航行方向問題,航行時間、速度問題等等.2.怎么考:考查運用正弦定理、余弦定理解決航向,時間,速度等實際問題.3.新趨勢:運用正弦定理、余弦定理解決實際問題.學(xué)霸好方法1.不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時可以畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤.方向問題【典例】如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察站南偏東60,那么燈塔A在

9、燈塔B的 ()A.北偏東10B.北偏西10C.南偏東80D.南偏西80【解析】選D.由條件及題干圖知,CAB=CBA=40,又BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此燈塔A在燈塔B的南偏西80.解決測量角度問題時有哪些考前須知?提示:1.測量角度時,首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義.2.求角的大小時,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解應(yīng)用題時,要由正確畫出示意圖,通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題中也要注意體會正、余弦定理使用的優(yōu)點.時間、速度問題【典例】如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45方向600kmA處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向

10、正北方向移動,距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,那么該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為 ()A.14hB.15hC.16hD.17h【解析】選B.記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)點B位置,在OAB中,OA=600km,AB=20tkm,OAB=45,由余弦定理得OB2=6002+400t2-220t600,令OB24502,即4t2-120t+15750,解得t,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為-=15(h).如何求解碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間?提示:熱帶風(fēng)暴速度,所以將時間問題轉(zhuǎn)化為路程問題,即求出碼頭受到熱帶風(fēng)暴影響時的風(fēng)暴路線長度.運用解三角形知識求

11、解即可.1.如下圖,兩座花壇A和B與教學(xué)樓C的距離相等,花壇A在教學(xué)樓C的北偏東40的方向上,花壇B在教學(xué)樓C的南偏東60的方向上,那么花壇A在花壇B的的方向上.【解析】由,ABC=(180-80)=50,所以花壇A在花壇B的北偏西10的方向上.答案:北偏西102.在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風(fēng)向是北偏東30,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,假設(shè)不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東,大小為km/h.【解析】如圖AOB=60,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120=1200,故

12、OC=20,COY=30+30=60.答案:60201.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,那么從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A.30B.45C.60D.75【解析】選B.由,AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=,又0CAD180,所以CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.2.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時

13、的速度從B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.【解析】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時,才能最快截獲(在D點)走私船,那么CD=10t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos120=6,解得BC=,又因為=,所以sinABC=,所以ABC=45,B點在C點的正東方向上,所以CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得=,所以sinBCD=.所以BCD=30,緝私船沿北偏東60的方向行駛.又在BCD中,CBD=120,BCD=30,所以D=30,所以BD=BC,即10t=,解得t=(小時)15(分鐘).所以緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.- 10 -