2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí) 理 北師大版

4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一測量距離問題1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m,那么河流的寬度BC=()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m2.一船以每小時(shí)15km的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛4小時(shí)后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔的距離為()A.60kmB.60kmC.30kmD.30km3.(2021·衡陽模擬)如圖,為了測量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上B,D兩點(diǎn),測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B與D互補(bǔ),那么AC的長為() A.7kmB.8kmC.9kmD.6km4.如圖,海中有一小島C,一小船從A地出發(fā)由西向東航行,望見小島C在北偏東60°,航行8海里到達(dá)B處,望見小島C在北偏東15°,假設(shè)此小船不改變航行的方向繼續(xù)前行2(-1)海里,那么離小島C的距離為 ()A.8(+2)海里B.2(-1)海里C.2(+1)海里D.4(+1)海里【解析】1.選C.記氣球在地面的投影為D,在RtABD中,cos15°=,又cos15°=cos(60°-45°)=,所以AB=.在ABC中,由正弦定理得=,所以BC=AB=120(-1)(m).2.選A.畫出圖形如下圖,在ABC中,BAC=30°,AC=4×15=60,B=45°,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船與燈塔的距離為60km.3.選A.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因?yàn)锽與D互補(bǔ),所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).4.選C.BC=4,所以離小島C的距離為=2(+1)海里.距離問題的常見類型及解法1.類型:測量距離問題常分為三種類型:山兩側(cè)、河兩岸、河對(duì)岸.2.解法:選擇適宜的輔助測量點(diǎn),構(gòu)造三角形,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.【秒殺絕招】直角三角形解T1,記氣球在地面的投影為D,在RtACD中,tan60°=,所以CD=60,在RtABD中,因?yàn)閠an15°=,tan15°=tan(60°-45°)=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).考點(diǎn)二測量高度問題【典例】1.一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,那么塔高為()A.mB.mC.mD.m2.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.那么從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為;塔BB1的高為m. 【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,想到作圖,建立數(shù)學(xué)模型2由“60m“從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍“從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,想到A1ACCBB1【解析】1.選A.如下圖.在RtACD中,CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).2.設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為,那么AA1=60tanm,BB1=60tan2m.因?yàn)閺膬伤撞窟B線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,所以A1ACCBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tantan2=900,所以tan=(負(fù)值舍去),所以tan2=,BB1=60tan2=45m.答案:45求解高度問題的關(guān)注點(diǎn)1.在處理有關(guān)高度問題時(shí),要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.1.(2021·宜春模擬)某工廠實(shí)施煤改電工程防治霧霾,欲撤除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C,D,測得BCD=75°,BDC=60°,CD=40米,并在點(diǎn)C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30°,且CE=1米,那么煙囪高AB=米.【解析】CBD=180°-BCD-BDC=45°,在CBD中,由正弦定理得BC=20,所以AB=1+tan30°·CB=1+20(米).答案:(1+20)2.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,那么此山的高度CD=m.【解析】在ABC中,CAB=30°,ACB=75°-30°=45°,根據(jù)正弦定理知,=,即BC=×sinBAC=×=300(m),所以CD=BC×tanDBC=300×=100(m).答案:100考點(diǎn)三測量角度問題命題精解讀1.考什么:航行方向問題,航行時(shí)間、速度問題等等.2.怎么考:考查運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決航向,時(shí)間,速度等實(shí)際問題.3.新趨勢:運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題.學(xué)霸好方法1.不要搞錯(cuò)各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.在實(shí)際問題中,可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題,這時(shí)可以畫兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.方向問題【典例】如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,那么燈塔A在燈塔B的 ()A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°【解析】選D.由條件及題干圖知,CAB=CBA=40°,又BCD=60°,所以CBD=30°,所以DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.解決測量角度問題時(shí)有哪些考前須知?提示:1.測量角度時(shí),首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義.2.求角的大小時(shí),先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解應(yīng)用題時(shí),要由正確畫出示意圖,通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理使用的優(yōu)點(diǎn).時(shí)間、速度問題【典例】如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報(bào),在距離某碼頭南偏東45°方向600kmA處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng),距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,那么該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為 ()A.14hB.15hC.16hD.17h【解析】選B.記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)點(diǎn)B位置,在OAB中,OA=600km,AB=20tkm,OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×,令OB24502,即4t2-120t+15750,解得t,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為-=15(h).如何求解碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間?提示:熱帶風(fēng)暴速度,所以將時(shí)間問題轉(zhuǎn)化為路程問題,即求出碼頭受到熱帶風(fēng)暴影響時(shí)的風(fēng)暴路線長度.運(yùn)用解三角形知識(shí)求解即可.1.如下圖,兩座花壇A和B與教學(xué)樓C的距離相等,花壇A在教學(xué)樓C的北偏東40°的方向上,花壇B在教學(xué)樓C的南偏東60°的方向上,那么花壇A在花壇B的的方向上.【解析】由,ABC=(180°-80°)=50°,所以花壇A在花壇B的北偏西10°的方向上.答案:北偏西10°2.在一次抗洪搶險(xiǎn)中,某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng),失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行,此時(shí),風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,假設(shè)不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|,大小為km/h.【解析】如圖AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,COY=30°+30°=60°.答案:60°201.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,那么從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】選B.由,AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=,又0°<CAD<180°,所以CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.2.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.【解析】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,那么CD=10t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosBAC=(-1)2+22-2(-1)×2×cos120°=6,解得BC=,又因?yàn)?,所以sinABC=,所以ABC=45°,B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,所以CBD=90°+30°=120°,在BCD中,由正弦定理,得=,所以sinBCD=.所以BCD=30°,緝私船沿北偏東60°的方向行駛.又在BCD中,CBD=120°,BCD=30°,所以D=30°,所以BD=BC,即10t=,解得t=(小時(shí))15(分鐘).所以緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.- 10 -