2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.3 三角恒等變形練習(xí) 理 北師大版

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1、4.3 三角恒等變形核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值 1.(2021阜陽(yáng)模擬)假設(shè)sin(-)sin -cos(-)cos = ,且為第二象限角,那么tan =()A.7B. C.-7 D.- 2.(2021全國(guó)卷) ,2sin 2=cos 2+1,那么sin =()A. B. C. D. 3.化簡(jiǎn): =.【解析】1.選B.因?yàn)閟in(-)sin -cos(-)cos = ,即-cos(-+)=-cos = ,所以cos =- .又因?yàn)闉榈诙笙藿?所以tan =- ,所以tan = = .2.選B.由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =co

2、s ,結(jié)合sin2+cos2=1,解得sin = .3.原式= = = =1.答案:1 1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看原那么2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升和“次升角降是根本的規(guī)律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.【一題多解】倍角降次解T3,原式= = = = =1.三角形法解T2,因?yàn)?,所以sin 0,cos 0,由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,tan = ,畫(huà)直角三角形如圖,不妨設(shè)角對(duì)邊為1,鄰邊為2,那么斜邊為 ,sin = . 考點(diǎn)二條件求值問(wèn)題 命題精

3、解讀1.考什么:(1)給角求值,給值求值,給值求角等.(2)考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合考查求三角函數(shù)值,角的值等.學(xué)霸好方法條件求值的四個(gè)必備結(jié)論(1)降冪公式:cos2= ,sin2= .(2)升冪公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式變形:tan tan =tan()(1tan tan ).(4)輔助角公式:asin x+bcos x= sin(x+) 其中sin = ,cos = 給角求值【典例】(2021沈陽(yáng)四校聯(lián)考)化簡(jiǎn): - =.【解析】 - = = = =4.答案:4 給角求值如

4、何求解?提示:(1)觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式或拆分.(2)觀察名,盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱(chēng).(3)觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡(jiǎn). 給值求值【典例】1.(2021全國(guó)卷)sin +cos =1,cos +sin =0,那么sin(+)=.2.(2021全國(guó)卷)tan = ,那么tan =.【解析】1.由sin +cos =1與cos +sin =0分別平方相加得sin2+2sin cos +cos2+cos2+2cos sin +sin2 =1,即2+2sin cos +2cos sin =1,所以sin(+)=- .答案:- 2.因?yàn)閠an =tan = ,所以 = ,解得tan =

5、 .答案: 給值求值問(wèn)題如何求解?提示:(1)化簡(jiǎn)所求式子.(2)觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手).(3)將條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值. 給值求角【典例】(2021長(zhǎng)春模擬)sin = ,sin(-)=- ,均為銳角,那么角值是.【解析】因?yàn)?均為銳角,所以- - .又sin(-)=- ,所以cos(-)= .又sin = ,所以cos = ,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= - = ,所以= .答案: 如何選取適宜的三角函數(shù)求角?提示:(1)正切函數(shù)值,選正切函數(shù).(2)正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).假設(shè)角的范圍是 ,選正、余弦函

6、數(shù)皆可;假設(shè)角的范圍是(0,),選余弦函數(shù)較好;假設(shè)角的范圍為 ,選正弦函數(shù)較好.(3)由角的范圍,結(jié)合所求三角函數(shù)值寫(xiě)出要求的角. 1.(2021滁州模擬)假設(shè)銳角,滿(mǎn)足tan +tan = - tan tan ,那么+=.【解析】由可得 = ,即tan(+)= .又因?yàn)?(0,),所以+= .答案: 2.(2021福州模擬)A,B均為鈍角,sin2 +cos = ,且sin B= ,那么A+B=()A. B. C. D. 【解析】選C.因?yàn)閟in2 +cos = ,所以 + cos A- sin A= ,即 - sin A= ,解得sin A= .因?yàn)锳為鈍角,所以cos A=- =- =

7、- .由sin B= ,且B為鈍角,得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= - = .又A,B都為鈍角,即A,B ,所以A+B(,2),所以A+B= .3.(2021佛山模擬)cos = ,(-,0),那么cos =()A.- B.- C. D. 【解析】選A.因?yàn)閏os = ,(-,0),所以sin =- =- ,所以cos =cos cos +sin sin = + =- . 1.(2021貴陽(yáng)模擬)sin415-cos415=()A. B.- C. D.- 【解析】選D.sin415-cos415=(sin215-cos215)

8、(sin215+cos215)=sin215-cos215=-cos 30=- .2.定義運(yùn)算 =ad-bc.假設(shè)cos = , = ,0 ,那么=.【解析】由得sin cos -cos sin =sin(-)= .又0 ,所以0- ,所以cos(-)= = ,而cos = ,所以sin = ,于是sin =sin-(-)=sin cos(-)-cossin(-)= - = ,所以= .答案: 考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用 【典例】1.如圖,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B為圓心,BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧,點(diǎn)P是弧上一動(dòng)點(diǎn),PMOA,垂足為M,PNOC,垂足為N,求四邊形OMPN的周

9、長(zhǎng)的最小值.【解析】連接BP,設(shè)CBP=,其中0 ,那么PM=1-sin ,PN=2-cos ,那么周長(zhǎng)C=6-2(sin +cos )=6-2 sin ,因?yàn)? ,所以 + 0)求周期;根據(jù)自變量的范圍確定x+的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時(shí),根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn),也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值;根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的單調(diào)區(qū)間. 1. 如圖是半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內(nèi)接矩形,設(shè)SOP=,求為何值時(shí)矩形的面積最大,并求出最大值.【解析】因?yàn)镾OP=,所以PS=sin ,SR=2c

10、os ,故S矩形PQRS=SRPS=2cos sin =sin 2,故當(dāng)= 時(shí),矩形的面積有最大值1.2.(2021合肥模擬)函數(shù)f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.【解析】(1)由得f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin .所以f(x)的最小正周期T= =.(2)由(1)知f(x)= sin .因?yàn)? x ,所以- 2x- ,所以當(dāng)2x- =- ,即x=- 時(shí),f(x)有最小值- ;當(dāng)2x- = ,即x= 時(shí),f(x)有最大值 .所以f(x)在 上的最大值為 ,最小值為- .- 12 -