2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.3 三角恒等變形練習(xí) 理 北師大版

4.3 三角恒等變形核心考點·精準(zhǔn)研析 考點一三角函數(shù)式的化簡求值  1.(2021·阜陽模擬)假設(shè)sin(-)sin -cos(-)cos = ,且為第二象限角,那么tan =()A.7B. C.-7 D.- 2.(2021·全國卷) ,2sin 2=cos 2+1,那么sin =()A. B. C. D. 3.化簡: =. 【解析】1.選B.因為sin(-)sin -cos(-)cos = ,即-cos(-+)=-cos = ,所以cos =- .又因為為第二象限角,所以tan =- ,所以tan = = .2.選B.由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,結(jié)合sin2+cos2=1,解得sin = .3.原式= = = =1.答案:1 1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看原那么2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升和“次升角降是根本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.【一題多解】倍角降次解T3,原式= = = = =1.三角形法解T2,因為 ,所以sin >0,cos >0,由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,tan = ,畫直角三角形如圖,不妨設(shè)角對邊為1,鄰邊為2,那么斜邊為 ,sin = . 考點二條件求值問題  命題精解讀1.考什么:(1)給角求值,給值求值,給值求角等.(2)考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合考查求三角函數(shù)值,角的值等.學(xué)霸好方法條件求值的四個必備結(jié)論(1)降冪公式:cos2= ,sin2= .(2)升冪公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式變形:tan ±tan =tan(±)(1tan tan ).(4)輔助角公式:asin x+bcos x= sin(x+) 其中sin = ,cos = 給角求值【典例】(2021·沈陽四校聯(lián)考)化簡: - =.【解析】 - = = = =4.答案:4 給角求值如何求解?提示:(1)觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式或拆分.(2)觀察名,盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱.(3)觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡. 給值求值【典例】1.(2021·全國卷)sin +cos =1,cos +sin =0,那么sin(+)=. 2.(2021·全國卷)tan = ,那么tan =.【解析】1.由sin +cos =1與cos +sin =0分別平方相加得sin2+2sin cos +cos2+cos2+2cos sin +sin2 =1,即2+2sin cos +2cos sin =1,所以sin(+)=- .答案:- 2.因為tan =tan = ,所以 = ,解得tan = .答案: 給值求值問題如何求解?提示:(1)化簡所求式子.(2)觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手).(3)將條件代入所求式子,化簡求值. 給值求角【典例】(2021·長春模擬)sin = ,sin(-)=- ,均為銳角,那么角值是.【解析】因為,均為銳角,所以- <-< .又sin(-)=- ,所以cos(-)= .又sin = ,所以cos = ,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= × - × = ,所以= .答案: 如何選取適宜的三角函數(shù)求角?提示:(1)正切函數(shù)值,選正切函數(shù).(2)正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).假設(shè)角的范圍是 ,選正、余弦函數(shù)皆可;假設(shè)角的范圍是(0,),選余弦函數(shù)較好;假設(shè)角的范圍為 ,選正弦函數(shù)較好.(3)由角的范圍,結(jié)合所求三角函數(shù)值寫出要求的角. 1.(2021·滁州模擬)假設(shè)銳角,滿足tan +tan = - tan tan ,那么+=. 【解析】由可得 = ,即tan(+)= .又因為+(0,),所以+= .答案: 2.(2021·福州模擬)A,B均為鈍角,sin2 +cos = ,且sin B= ,那么A+B=()A. B. C. D. 【解析】選C.因為sin2 +cos = ,所以 + cos A- sin A= ,即 - sin A= ,解得sin A= .因為A為鈍角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,且B為鈍角,得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= × - × = .又A,B都為鈍角,即A,B ,所以A+B(,2),所以A+B= .3.(2021·佛山模擬)cos = ,(-,0),那么cos =()A.- B.- C. D. 【解析】選A.因為cos = ,(-,0),所以sin =- =- ,所以cos =cos cos +sin sin = × + × =- . 1.(2021·貴陽模擬)sin415°-cos415°=()A. B.- C. D.- 【解析】選D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos 30°=- .2.定義運算 =ad-bc.假設(shè)cos = , = ,0<<< ,那么=. 【解析】由得sin cos -cos sin =sin(-)= .又0<<< ,所以0<-< ,所以cos(-)= = ,而cos = ,所以sin = ,于是sin =sin-(-)=sin cos(-)-cossin(-)= × - × = ,所以= .答案: 考點三三角恒等變換的綜合應(yīng)用  【典例】1.如圖,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B為圓心,BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧,點P是弧上一動點,PMOA,垂足為M,PNOC,垂足為N,求四邊形OMPN的周長的最小值.【解析】連接BP,設(shè)CBP=,其中0< ,那么PM=1-sin ,PN=2-cos ,那么周長C=6-2(sin +cos )=6-2 sin ,因為0< ,所以 + < ,故當(dāng)+ = ,即= 時,周長C有最小值6-2 .2.(2021·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x,xR.(1)0,2),函數(shù)f(x+)是偶函數(shù),求的值.(2)求函數(shù)y= + 的值域.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)看到“f(x+)是偶函數(shù),想到偶函數(shù)的性質(zhì),即f(-x+)=f(x+)(2)看到“求函數(shù)y= + 的值域,想到先化簡y= + 【解析】(1)因為f(x+)=sin(x+)是偶函數(shù),所以,對任意實數(shù)x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又0,2),因此= 或 .(2)y= + =sin2 +sin2 = + =1- =1- cos .因此,函數(shù)的值域是 . 1.三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法(1)結(jié)合具體圖形引進角為參數(shù),利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進行化簡,解決最優(yōu)化問題.(2)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題和解決一般應(yīng)用性問題一樣,先建模,再討論變量的范圍,最后得出結(jié)論并答復(fù)下列問題.2.三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)中的應(yīng)用(1)圖像變換問題:先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin +b或余弦型函數(shù)y=Acos(x+)+b的形式,再進行圖像變換.(2)函數(shù)性質(zhì)問題:求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的形式;利用公式T= (>0)求周期;根據(jù)自變量的范圍確定x+的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時,根據(jù)所給關(guān)系式的特點,也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值;根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的單調(diào)區(qū)間. 1. 如圖是半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內(nèi)接矩形,設(shè)SOP=,求為何值時矩形的面積最大,并求出最大值.【解析】因為SOP=,所以PS=sin ,SR=2cos ,故S矩形PQRS=SR·PS=2cos ·sin =sin 2,故當(dāng)= 時,矩形的面積有最大值1.2.(2021·合肥模擬)函數(shù)f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.【解析】(1)由得f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin .所以f(x)的最小正周期T= =.(2)由(1)知f(x)= sin .因為- x ,所以- 2x- ,所以當(dāng)2x- =- ,即x=- 時,f(x)有最小值- ;當(dāng)2x- = ,即x= 時,f(x)有最大值 .所以f(x)在 上的最大值為 ,最小值為- .- 12 -