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1、編號：
時間：2021年x月x日
書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟
頁碼：第10頁 共10頁
《保險精算學》筆記：多元生命函數
第一節(jié)? 多元生命函數簡介
一、多元生命函數的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數。
二、多元生命函數的作用
養(yǎng)老金給付場合
n????????? 合伙人聯保場合
n遺產稅的計算場合
三、多元剩余壽命的聯合分布
1、? 聯合密度函數
2、? 聯合分布函數
3、? 聯合生存函數
4、? 邊際生存函數
第二節(jié)? 多元生命狀況
??? 一、連生狀況
1、? 連生狀況定義
（1）定義：當所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當有
2、一個成員死亡時，連生狀況就結束了。簡記連生狀況為：
（2）連生狀況剩余壽命的定義：
（3）連生狀況剩余壽命的性
質：連生狀況的剩余壽命的實質上就是 個生命的最小次序統(tǒng)計量
2、? 兩個體連生狀況的生命函數
（1）分布函數
（2）生存函數
特別：兩個體剩余壽命獨立場合
（3）密度函數
特別：兩個體剩余壽命獨立場合
（4）死亡效力函數
特別：兩個體剩余壽命獨立場合
（5）兩個體至少有一個在第 年內死亡的概率
（6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率
（7）剩余壽命的期望
二、最后生存狀況
1、? 最后生存狀況的定義
（1）
3、定義：只要至少有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。當所有的成員都死亡時，最后生存狀況就結束了。簡記最后生存狀況為：
（2）最后生存狀況剩余壽命的定義：
（3）最后生存狀況剩余壽命的性
質：最后生存狀況的剩余壽命的實質上就是 個生命的最大次序統(tǒng)計量
2、? 多生命狀況剩余壽命的關系
（1）
（2）
（3）
（4）
3、兩個體最后生存狀況的生命函數
（1）分布函數
等價公式
（2）生存函數
等價公式
（3）密度函數
等價公式
（4）死亡效力函數
（5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率
等價公式
（6）剩
4、余壽命期望
4、聯合生命狀態(tài)剩余壽命協方差分析
第三節(jié)??????? 聯合生命模型
一、 簡介
聯合生命模型分為兩類：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量相互獨立的模型。這種模型假定有時與現實情況不符，但易于分析。
Copulas模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情況，但不易于分析。
我們主要研究簡單的Common Shock 模型。
二、 Common Shock 模型
1、定義：如果有 滿足
且有一個Common Shock 隨機變量 ，它獨立于
5、 ，且服從指數生存函數
令
則
2、聯合生命狀況分析
記
則
（1）邊際生存函數為
（2）連生狀況剩余壽命生存函數為
（3）最后生存狀況剩余壽命生存函數為
特別， 獨立時，等價于 。
第四節(jié)? 人壽保險與生存年金
一、聯合生命狀況躉繳純保費的確定
1、? 躉繳純保費的確定原理
2、? 聯合多生命狀況躉繳純保費的確定
（1）?????? 連生狀況
（2）?????? 最后生存狀況
二、聯合生命狀況生存年金的確定
1、? 生存年金確定原理
2、? 聯合生命狀況生存年金的確定
（1）連生狀況
（2）最后生存狀況
6、
三、 連生狀況合最后死亡狀況的關系
四、 繼承年金
1、? 繼承年金的定義：在聯合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命（v）死亡之后，另一個生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。
2、? 終身繼承年金
3、? 定期繼承年金
第五節(jié)? 在特殊死亡律假定下求值
一、Gomperz 和Makeham假定
1、? Gomperz假定下
尋找能替代連生狀態(tài)的單個生命狀態(tài) ，即
已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有
由這個等式可求出 ，于是
2、? Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函數含有常數項，所以無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即
已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有
由這個等式可求出 ，于是
二、均勻分布假定
??? 在均勻分布假定下，躉繳純保費和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質
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