數(shù)學(xué)第二章 方程(組)與不等式(組)第7講 一元二次方程

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1、 第二章方程第二章方程(組組)與不等式與不等式(組組) 第第7講一元二次方程講一元二次方程考點梳理考點梳理過關(guān)過關(guān)考點考點1 一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念提示 判斷一個方程是不是一元二次方程時要注意以下兩點：(1)化簡前，方程是整式方程；(2)化簡后，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.考點考點2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 6 6年年4 4考考拓展 十字相乘法分解因式：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項。其實就是運用乘法公式(xa)(xb)x2(ab)xab的逆運算來進行因式分解。十字分解法能用于二次三項式的分解因式(不一

2、定是整數(shù)范圍內(nèi))。對于像ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)這樣的整式來說，這個方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積，并使a1c2a2c1正好等于一次項的系數(shù)b。那么可以直接寫成結(jié)果：ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)考點考點3 一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用 6 6年年3 3考考提示 (1)運用一元二次方程根的判別式時，先要化為一般形式，再確定a，b，c的值；(2)當二次項系數(shù)含字母時注意二次項系數(shù)a0；(3)如果說方程有實數(shù)根，此時b24ac0，切勿丟掉等號考點考點4 一元二次方程根與系數(shù)

3、的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系( (選學(xué)選學(xué)) )提示 運用前提：(1)首先是一元二次方程，即a0；(2)一元二次方程必須有解，即b24ac0.幾種常見的一元二次方程應(yīng)用問題：(1)握手或單循環(huán)比賽問題(2)增長率問題：若基數(shù)為a，增長率為x，則增長一次后的值為a(1x)，增長兩次后的值為b，則有a(1x)2b.(3)面積類問題：解決這類問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或補全成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，利用面積計算公式列出方程求解(4)利潤類問題：常用的關(guān)系有利潤售價進價；總利潤單個利潤銷售數(shù)量考點考點5 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用 6 6年年1 1考考典型例題典型例題運用運

4、用類型類型1 1 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式【例1】2017通遼中考若關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有實數(shù)根，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()技法點撥 熟練掌握解一元二次方程的定義和判別式：1.二次項系數(shù)不為0；2.b24ac0方程有兩個不相等的實數(shù)根，b24ac0方程有兩個相等的實數(shù)根，b24ac0方程無實數(shù)根AA關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有實數(shù)根， 解得k1.變式運用 2017北京中考關(guān)于x的一元二次方程x2(k3)x2k20.(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范圍解：(1)證明：在方程x

5、2(k3)x2k20中，(k3)241(2k2)k22k1(k1)20，方程總有兩個實數(shù)根(2)x2(k3)x2k2(x2)(xk1)0，x12，x2k1.方程有一根小于1，k11，解得k0，k的取值范圍為k0.對于任意實數(shù)k，方程有兩個不相等的實數(shù)根猜押預(yù)測 1.不解方程，判別方程2x23 x3的根的情況 ()A有兩個相等的實數(shù)根 B有兩個不相等的實數(shù)根C有一個實數(shù)根 D無實數(shù)根2B整理方程，得2x23 x30.(3 )242(3)18240，方程有兩個不相等的實數(shù)根22猜押預(yù)測 2.已知關(guān)于x的一元二次方程(a1)x22x10有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是 .a2且a1關(guān)于x的一元

6、二次方程(a1)x22x10有兩個不相等的實數(shù)根，b24ac0，即44(a1)10.解這個不等式，得a2.又二次項系數(shù)是(a1)，a1.故a的取值范圍是a2且a1.42015濱州，5,3分用配方法解一元二次方程x26x100時，下列變形正確的為()A(x3)21 B(x3)21C(x3)219 D(x3)219命題點命題點2 2 解一元二次方程解一元二次方程D移項，得x26x10.配方，得x26x919，即(x3)219.52013濱州，16,4分一元二次方程2x23x10的解為x11，x2 . a2，b3，c1，b24ac(3)2810.x x11，x2 .212162012濱州，17,4分

7、方程x(x2)x的根是 .x10，x23原方程可化為x(x2)x0，即x(x21)0.x0或x30.解得x10，x23.72017濱州，20,9分(1)根據(jù)要求，解答下列問題：方程x22x10的解為；方程x23x20的解為；方程x24x30的解為；(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：方程x29x80的解為；關(guān)于x的方程的解為x11，x2n.(3)請用配方法解方程x29x80，以驗證猜想結(jié)論的正確性解：(1)(x1)20，解得x1x21，即方程x22x10的解為x1x21；(x1)(x2)0，解得x11，x22，所以方程x23x20的解為x11，x22；(x1)(x3)0，解得x11，x

8、23，方程x24x30的解為x11，x23；(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：方程x29x80的解為x11，x28；關(guān)于x的方程x2(1n)xn0的解為x11，x2n.(3)x29x8，x29x 8 ，所以x11，x28.所以猜想正確答案：x1x21；x11，x22；x11，x23；x11，x28；x2(1n)xn0.481481猜押預(yù)測 3.已知等腰ABC的兩條邊的長度是一元二次方程x26x80的兩根，則ABC的周長是()A10 B8 C6 D8或10猜押預(yù)測 4.將一元二次方程x26x50化成(xa)2b的形式，則ab .A已知x26x80，(x2)(x4)0.x12，x24.由

9、三角形的三邊關(guān)系，可得(兩邊之和大于第三邊)，腰長是4，底邊是2，所以周長是44210.12x26x50，x26x5，x26x959，(x3)24，所以a3，b4，ab12.命題點命題點3 3 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用82012濱州，20,7分濱州市體育局要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排28場比賽，應(yīng)邀請多少支球隊參加比賽？學(xué)習(xí)以下解答過程，并完成填空解：設(shè)應(yīng)邀請x支球隊參賽，則每隊共打 場比賽，比賽總場數(shù)用代數(shù)式表示為 .根據(jù)題意，可列出方程 .整理，得 .解這個方程，得 .合乎實際意義的解為 .答：應(yīng)邀請 支球隊參賽 設(shè)應(yīng)邀請x支球隊參賽，則每

10、隊共打(x1)場比賽，比賽總場數(shù)用代數(shù)式表示為 x(x1)，根據(jù)題意，可列出方程 x(x1)28.整理，得x2x560，解這個方程，得x18，x27.合乎實際意義的解為x8.答：應(yīng)邀請8支球隊參賽2121猜押預(yù)測 5.某種型號的電腦，原售價7200元/臺，經(jīng)連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)售價為4608元/臺，則平均每次降價的百分率為 .20%設(shè)平均每次降價的百分率為x.由題意，得7200(1x)24608.解得x11.8(舍去)，x20.2.猜押預(yù)測 6.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場每天可多售出2件，設(shè)

11、每件商品降低x元據(jù)此規(guī)律，請回答：(1)商場日銷售量增加件，每件商品盈利元；(用含x的代數(shù)式表示)(2)在上述條件不變，銷售正常的情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？解：(1)降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)為(50 x)元故答案為：2x；50 x；(2)由題意，得(50 x)(302x)2100.化簡，得x235x3000，即(x15)(x20)0.解得x115，x220.由于該商場為了盡快減少庫存，因此降的越多，越吸引顧客，故選x20.答：每件商品降價20元時，商場日盈利可達到2100元得分要領(lǐng) 1.要熟悉常見問題的等量關(guān)系，并會根據(jù)關(guān)系列出方程；2.能夠準確求出方程的解；3.對于方程的解會根據(jù)實際情況進行可行性分析，適當選取