高中物理 第十六章 動(dòng)量守恒定律 2 動(dòng)量和動(dòng)量定理學(xué)案 新人教版選修3-5

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1、 2　動(dòng)量和動(dòng)量定理 1．動(dòng)量 (1)定義：在物理學(xué)上，把物體的質(zhì)量跟其速度的乘積，叫做物體的動(dòng)量。 (2)表達(dá)式：p＝mv。 (3)單位：kg·m/s。 (4)方向：動(dòng)量是矢量，它的方向與速度的方向相同。 (5)對(duì)動(dòng)量的理解 ①動(dòng)量的矢量性：動(dòng)量既有大小，又有方向，是矢量。它的方向與速度方向相同。當(dāng)速度發(fā)生變化(速度的大小或速度的方向或速度的大小和方向同時(shí)變化)，動(dòng)量也隨之改變；動(dòng)量的運(yùn)算遵循平行四邊形定則。 ②動(dòng)量的瞬時(shí)性：由于速度具有瞬時(shí)性，所以動(dòng)量也具有瞬時(shí)性，是反映物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，是狀態(tài)量。談及動(dòng)量時(shí)，須指明物體在某時(shí)刻或某狀態(tài)時(shí)所具有的動(dòng)量。 ③動(dòng)量的

2、相對(duì)性：由于物體的速度與參考系的選取有關(guān)，所以物體的動(dòng)量也與參考系的選取有關(guān)，因而動(dòng)量具有相對(duì)性。在中學(xué)階段，一般取地面或相對(duì)地面靜止的物體為參考系。 【例1】 質(zhì)量為m＝2 kg的物體，從空中水平勻速飛行的飛行物上自由落下，已知飛行物的速度為v0＝3 m/s，求物體離開飛行物后0.4 s末的動(dòng)量。不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2。 解析：以地面為參考系，物體0.4 s末時(shí)的速度為v＝＝ m/s＝5 m/s，所以p＝mv＝2.0×5 kg·m/s＝10 kg·m/s，方向與該時(shí)刻的速度方向一致，即與水平方向成θ角，θ＝arctan＝arctan＝53°。 答案：10 kg·m/s，方向與

3、水平方向成53°角 2.動(dòng)量的變化 動(dòng)量是矢量，只要物體的m的大小、v的大小和v的方向三者中有一個(gè)發(fā)生變化，則物體的動(dòng)量就發(fā)生變化。動(dòng)量的變化可表示為Δp＝p末－p初，此式為矢量式。Δp也為矢量，其方向與Δv的方向相同。 (1)在一維情況下(共線)，可以把動(dòng)量的矢量運(yùn)算簡(jiǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，動(dòng)量變化計(jì)算公式Δp＝p2－p1＝mv2－mv1，通常情況下先選定一個(gè)正方向，用正負(fù)號(hào)來(lái)表示初、末動(dòng)量的方向。速度方向與正方向相同，則該物體的速度和動(dòng)量為正，相反則為負(fù)。 【例2－1】 羽毛球是速度較快的球類運(yùn)動(dòng)之一，運(yùn)動(dòng)員扣殺羽毛球的速度可達(dá)到342 km/h，假設(shè)球飛來(lái)的速度為90 km/h，運(yùn)動(dòng)員將

4、球以342 km/h的速度反向擊回。設(shè)羽毛球的質(zhì)量為5 g，試求： (1)運(yùn)動(dòng)員擊球過(guò)程中羽毛球的動(dòng)量變化量。 (2)在運(yùn)動(dòng)員的這次扣殺中，羽毛球的速度變化、動(dòng)能變化各是多少？ 解析：(1)以球飛來(lái)的方向?yàn)檎较?，則 p1＝mv1＝5×10－3× kg·m/s＝0.125 kg·m/s。 p2＝mv2＝－5×10－3× kg·m/s＝－0.475 kg·m/s。 所以動(dòng)量的變化量 Δp＝p2－p1＝－0.475 kg·m/s－0.125 kg·m/s ＝－0.600 kg·m/s。 即球的動(dòng)量變化大小為0.600 kg·m/s，方向與球飛來(lái)的方向相反。 (2)羽毛球的初速度

5、：v＝25 m/s， 羽毛球的末速度：v′＝－95 m/s， 所以Δv＝v′－v＝－120 m/s。 羽毛球的初動(dòng)能：Ek＝mv2＝1.56 J， 羽毛球的末動(dòng)能：Ek′＝mv′2＝22.56 J。 所以ΔEk＝Ek′－Ek ＝21 J。 答案：(1)0.600 kg·m/s　方向與球飛來(lái)的方向相反　(2)120 m/s　方向與初速度方向相反　21 J 析規(guī)律 動(dòng)量是矢量 動(dòng)量的變化量也是矢量，計(jì)算在同一直線上動(dòng)量的變化量時(shí)，一定要注意正方向的規(guī)定。通常取初速度方向?yàn)檎较?，代入?shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，切不可丟掉表示方向的正、負(fù)號(hào)。 (2)在p末與p初不共線的情況下，求Δp要用平行四邊

6、形定則。 在曲線運(yùn)動(dòng)中，初、末動(dòng)量不在同一直線上，可以按照平行四邊形定則或者三角形定則求Δp。如圖所示，Δp就是由初動(dòng)量箭頭指向末動(dòng)量箭頭的有向線段。 【例2－2】 一個(gè)質(zhì)量是0.2 kg的鋼球，以2 m/s的速度斜射到堅(jiān)硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜著彈出，彈出的角度也是45°，速度大小仍為2 m/s，用作圖法求出鋼球動(dòng)量變化的大小和方向。 解析：碰撞前后鋼球不在同一直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平行四邊形定則，以p′和－p為鄰邊作平行四邊形，則Δp的大小就等于對(duì)角線的長(zhǎng)度，對(duì)角線的指向就表示其方向，所以 Δp＝ ＝ kg·m/s ＝0.4 kg·m/s 方向豎

7、直向上。 答案：0.4 kg·m/s　豎直向上 3．沖量 (1)牛頓第二定律的動(dòng)量表達(dá)式 F＝ma＝m＝ 此式說(shuō)明作用力F等于物體動(dòng)量的變化率。 即F＝是牛頓第二定律的另一種表達(dá)形式。 (2)沖量的定義：力與力的作用時(shí)間的乘積叫做力的沖量。 (3)公式：I＝F·t。 (4)單位：牛·秒，符號(hào)：N·s。 (5)沖量的性質(zhì) ①?zèng)_量的時(shí)間性：沖量不僅由力決定，還由力的作用時(shí)間決定，恒力的沖量等于力與力作用時(shí)間的乘積，可用I＝F·t表示。 ②沖量的矢量性：對(duì)于具有恒定方向的力來(lái)說(shuō)，沖量的方向與力的方向一致；對(duì)于作用時(shí)間內(nèi)方向變化的力來(lái)說(shuō)，沖量的方向與相應(yīng)時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的變化量的方向

8、一致，沖量的運(yùn)算遵守平行四邊形定則。 ③沖量的絕對(duì)性：由于力和時(shí)間都跟參考系的選擇無(wú)關(guān)，所以力的沖量也跟參考系的選擇無(wú)關(guān)。 ④沖量的過(guò)程性：沖量是描述力對(duì)作用時(shí)間的累積效果，力越大，作用時(shí)間越長(zhǎng)，沖量就越大。沖量是一個(gè)過(guò)程量，學(xué)習(xí)沖量必須明確研究對(duì)象和作用過(guò)程，即必須明確是哪個(gè)力在哪段時(shí)間內(nèi)對(duì)哪個(gè)物體產(chǎn)生的沖量。 【例3】 以某一初速度豎直向上拋出一物體，空氣阻力不可忽略。關(guān)于物體受到的沖量，以下說(shuō)法正確的是(　　) A．物體上升階段和下落階段受到的重力的沖量方向相反 B．物體上升階段和下落階段受到空氣阻力沖量的方向相反 C．物體在下落階段受到重力的沖量大于上升階段受到重力的沖量

9、 D．物體在下落階段受到重力的沖量小于上升階段受到重力的沖量 解析： A × 恒力的沖量的方向與該恒力方向相同，即上升、下落階段重力的沖量方向相同，均豎直向下。 B √ 物體上升階段和下落階段空氣阻力方向相反，沖量方向相反。 C √ 由于空氣阻力不可忽略，物體上升過(guò)程受到的合力大于下落過(guò)程的合力，物體上升的時(shí)間小于下落的時(shí)間，即下落階段受到重力的沖量大于上升階段受到重力的沖量。 D × 答案：BC 4.動(dòng)量定理 (1)動(dòng)量定理的內(nèi)容： 物體所受合外力的沖量等于物體動(dòng)量的變化。 (2)表達(dá)式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p 式中mv是物體初始狀態(tài)的動(dòng)量，mv

10、′是力的作用結(jié)束時(shí)的末態(tài)動(dòng)量。 動(dòng)量定理反映了物體在受到力的沖量作用時(shí)，其狀態(tài)發(fā)生變化的規(guī)律，是力在時(shí)間上的累積效果。 (3)動(dòng)量定理的理解與應(yīng)用要點(diǎn)： ①動(dòng)量定理的表達(dá)式是一個(gè)矢量式，應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)需要規(guī)定正方向。 ②動(dòng)量定理公式中F是研究對(duì)象所受的包括重力在內(nèi)的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是變力。當(dāng)合外力為變力時(shí)，F(xiàn)應(yīng)該是合外力在作用時(shí)間內(nèi)的平均值。 ③動(dòng)量定理的研究對(duì)象是單個(gè)物體或系統(tǒng)。 ④動(dòng)量定理中的沖量是合外力的沖量，而不是某一個(gè)力的沖量。在所研究的物理過(guò)程中，如果作用在物體上的各個(gè)外力的作用時(shí)間相同，求合外力的沖量時(shí)，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用時(shí)

11、間，也可以先求每個(gè)外力在作用時(shí)間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和。如果作用在物體上各外力的作用時(shí)間不同，就只能先求每一個(gè)外力在其作用時(shí)間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和。 ⑤動(dòng)量定理中I是合外力的沖量，是使研究對(duì)象的動(dòng)量發(fā)生變化的原因，并非產(chǎn)生動(dòng)量的原因，不能認(rèn)為合外力的沖量就是動(dòng)量的變化。合外力的沖量是引起研究對(duì)象狀態(tài)變化的外在因素，而動(dòng)量的變化是合外力沖量作用后導(dǎo)致的必然結(jié)果。 ⑥動(dòng)量定理不僅適用于宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)，對(duì)微觀物體和高速運(yùn)動(dòng)仍然適用。 ⑦合外力的沖量是物體動(dòng)量變化的量度。 【例4】 質(zhì)量為0.5 kg的彈性小球，從1.25 m高處自由下落，與地板碰撞后回

12、跳高度為0.8 m。設(shè)碰撞時(shí)間為0.1 s，g取10 m/s2，求小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Α? 解析：解法一：分段處理 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)可知，小球碰撞前的速度：v1＝＝ m/s＝5 m/s，方向向下； 小球碰撞后的速度：v2＝＝ m/s＝4 m/s，方向向上。 小球受力情況如圖所示，取豎直向上為正方向。 根據(jù)動(dòng)量定理： (N－mg)t＝mv2－mv1 N＝＋mg＝50 N 由牛頓第三定律可知，小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Υ笮?0 N，方向豎直向下 解法二：全程處理 以開始下落的瞬間為初狀態(tài)，反彈到最高點(diǎn)時(shí)為末狀態(tài)，則重力的作用時(shí)間： t＝＋t碰

13、＋＝(0.5＋0.1＋0.4)s＝1 s 平均沖力的作用時(shí)間為t碰＝0.1 s 取豎直向下為正方向，mgt－Nt碰＝0 所以N＝＝ N＝50 N 由牛頓第三定律可知，小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Υ笮?0 N，方向豎直向下。 答案：50 N，方向豎直向下 點(diǎn)技巧 動(dòng)量定理解題要點(diǎn) (1)若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的力不是同時(shí)的，可將受力情況分成若干階段來(lái)解，也可當(dāng)成一個(gè)全過(guò)程來(lái)求解。 (2)在用動(dòng)量定理解題時(shí)，一定要認(rèn)真進(jìn)行受力分析，不可有遺漏，比如求解本題時(shí)，有的同學(xué)就把重力遺漏了。 5．沖量的計(jì)算方法 (1)單個(gè)恒力的沖量，既可是直線運(yùn)動(dòng)中單個(gè)恒力的沖量，也可是曲線運(yùn)動(dòng)中某

14、個(gè)恒力的沖量，用沖量的定義式I＝Ft計(jì)算。 (2)幾個(gè)恒力的合沖量 ①先求幾個(gè)恒力的合力F合，再用I合＝F合·t求合力的沖量，此方法適用于幾個(gè)恒力的作用時(shí)間相同。 ②若幾個(gè)恒力的作用時(shí)間不相同，則應(yīng)先求出各個(gè)恒力的沖量，I1＝F1t1，I2＝F2t2，…再依據(jù)平行四邊形定則求I合。若I1、I2…都在一直線上，可選定正方向，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。 (3)變力的沖量 ①變力的沖量通?？衫脛?dòng)量定理I＝Δp求解。 ②可用圖象法計(jì)算沖量，如圖1，若某一力方向恒定不變，那么在Ft圖象中，圖中陰影部分的面積就表示力在時(shí)間Δt＝t2－t1內(nèi)的沖量。 　 圖1　　　

15、 　　圖2 ③對(duì)于方向不變，大小隨時(shí)間均勻變化的力，其沖量可用公式I＝t0計(jì)算，如圖2所示。 【例5－1】一個(gè)質(zhì)量為m的物體，從離地面高為h的位置以初速度v0水平拋出，求物體從開始拋出到落至地面這段時(shí)間內(nèi)重力的沖量。 解析：因?yàn)橹亓楹懔?，其大小為mg，方向豎直向下，所以重力的沖量可直接用I＝Ft來(lái)求解。設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，因在豎直方向上，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以h＝gt2，t＝ 重力在這段時(shí)間內(nèi)的沖量大小為I＝Ft＝mgt＝m 沖量的方向與重力的方向一致，即豎直向下。 答案：m，方向豎直向下 【例5－2】 用電鉆給建筑物鉆孔時(shí)，鉆頭所受的阻力與深度成正比。

16、圖為阻力f與時(shí)間關(guān)系的圖象，若鉆頭勻速鉆進(jìn)時(shí)第1 s內(nèi)所受的阻力的沖量為100 N·s，求5 s內(nèi)阻力的沖量的大小。 解析：設(shè)鉆頭進(jìn)入建筑物的深度為x，則鉆頭受到的阻力為f＝kx，k為比例系數(shù)。 鉆頭勻速鉆進(jìn)，深度為x＝vt 所以f＝kvt 在時(shí)間t內(nèi)阻力的沖量可通過(guò)如題圖所示的f-t圖象的面積來(lái)求解I＝f·t＝kvt2 即I∝t2，因第1 s內(nèi)的沖量為100 N·s，所以t＝5 s時(shí)，I5＝2 500 N·s。 答案：2 500 N·s 6.動(dòng)量定理的應(yīng)用 (1)一個(gè)物體的動(dòng)量變化Δp與合外力的沖量具有等效代換關(guān)系，二者大小相等、方向相同，可以相互代換，據(jù)此有： ①應(yīng)用

17、I＝Δp求變力的沖量：如果物體受到大小或方向改變的力的作用，則不能直接用Ft求變力的沖量，這時(shí)可以求出該力作用下物體動(dòng)量的變化Δp，等效代換變力的沖量I。 ②應(yīng)用Δp＝FΔt求恒力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)中物體動(dòng)量的變化：曲線運(yùn)動(dòng)的物體速度方向時(shí)刻在變化，求動(dòng)量變化Δp＝p′－p需要應(yīng)用矢量運(yùn)算方法，比較麻煩。如果作用力是恒力，可以求恒力的沖量，等效代換動(dòng)量的變化。 (2)用動(dòng)量定理解釋相關(guān)物理現(xiàn)象的要點(diǎn)。 由Ft＝p′－p＝Δp可以看出，當(dāng)Δp為恒量時(shí)，作用力 F 的大小與相互作用的時(shí)間 t 成反比。 (3)應(yīng)用動(dòng)量定理的解題步驟 ①確定研究對(duì)象，研究對(duì)象可以是一個(gè)物體，也可以是兩個(gè)以上的

18、物體組成的系統(tǒng)。 ②確定應(yīng)用動(dòng)量定理的物理過(guò)程，即確定在哪一段時(shí)間內(nèi)應(yīng)用動(dòng)量定理。 ③分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力情況，給出外力沖量的矢量和的表達(dá)式。 ④分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程始末的動(dòng)量，并由所定正方向?qū)懗鰟?dòng)量變化的表達(dá)式。 ⑤列出動(dòng)量定理方程并求解。, 【例6－1】如圖甲所示，物體A和B用輕繩相連，掛在輕質(zhì)彈簧下靜止不動(dòng)，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為M。當(dāng)連接A、B的繩突然斷開后，物體A上升經(jīng)某一位置時(shí)的速度大小為v，這時(shí)物體B下落的速度大小為u，如圖乙所示。在這段時(shí)間里，彈簧的彈力對(duì)物體A的沖量為(　　) A．mv　　　 B．mv－Mu　　　 C．mv＋Mu　　　 D．mv＋mu 解析：該題涉

19、及的物體較多，可選B為研究對(duì)象，在B下落的這段時(shí)間t內(nèi)，其動(dòng)量向下增加為Mu，B只受重力，由動(dòng)量定理，重力的沖量為Mgt＝Mu，解得t＝。 以A為研究對(duì)象，其動(dòng)量在時(shí)間t內(nèi)向上增加為mv，設(shè)彈力的沖量為I，由動(dòng)量定理有I－mgt＝mv 解得I＝m(v＋u) 故正確選項(xiàng)為D。 答案：D 析規(guī)律 計(jì)算沖量的一般方法 求一個(gè)變力的沖量時(shí)，若該力是線性變化的，可轉(zhuǎn)化為恒力(平均力)求解，也可用動(dòng)量定理求解；若該力不是均勻變化的，只能用動(dòng)量定理求解。 【例6－2】在距地面高h(yuǎn)處、同時(shí)以相等初速度v0分別平拋、豎直上拋、豎直下拋三個(gè)質(zhì)量均為m的物體，當(dāng)它們從拋出點(diǎn)落到地面時(shí)，比較它們的動(dòng)量

20、的增量Δp，有(　　) A．平拋過(guò)程較大 B．豎直上拋過(guò)程較大 C．豎直下拋過(guò)程較大 D．三者一樣大 解析：由動(dòng)量定理可知I合＝Δp，而I合＝mgt，豎直上拋過(guò)程t2最大，所以Δp2最大，應(yīng)選B。 答案：B 7．沖量與功的區(qū)別 8.動(dòng)量定理與牛頓第二定律的區(qū)別與聯(lián)系 【例7】 如圖所示，在傾角α＝37°的斜面上，有一質(zhì)量為5 kg的物體沿斜面滑下，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，求物體下滑2 s的時(shí)間內(nèi)物體所受各力的沖量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 思路點(diǎn)撥：①判斷物體所受各力的方向；②根據(jù)沖量公

21、式求出各力的沖量。 解析：物體沿斜面下滑過(guò)程中，受重力、支持力和摩擦力的作用，沖量I＝FΔt，是矢量。 重力的沖量 IG＝GΔt＝mgΔt＝5×10×2 N·s＝100 N·s， 方向豎直向下。 支持力的沖量 IFN＝FNΔt＝mgcos α·Δt＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s， 方向垂直于斜面向上。 摩擦力的沖量 IFf＝FfΔt＝μmgcos α·Δt＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上。 答案：重力的沖量為100 N·s，方向豎直向下 支持力的沖量為80 N·s，方向垂直于斜面向上 摩擦力的沖量為16 N·s，方向沿斜

22、面向上 辨誤區(qū) 沖量與功的區(qū)別 在計(jì)算支持力的沖量時(shí)，若在垂直斜面方向上物體沒(méi)發(fā)生位移，有人就認(rèn)為IFN＝0，這種錯(cuò)誤觀點(diǎn)的根源在于未分清沖量與功的概念。應(yīng)注意：力對(duì)物體做功時(shí)，力的沖量不為零，但力對(duì)物體有沖量時(shí)力不一定對(duì)物體做功。沖量是矢量，功是標(biāo)量，沖量大小計(jì)算是作用力的大小乘以作用時(shí)間，功的計(jì)算是力與沿力的方向上發(fā)生位移的乘積。 【例8】 一輛質(zhì)量為2 t的汽車在水平公路上行駛時(shí)，它受到的阻力為自重的0.02倍。由靜止出發(fā)，它在恒定牽引力作用下10 s內(nèi)可加速到30 m/s。求汽車在這段加速過(guò)程中的牽引力。 解析：方法一：利用動(dòng)量定理求解。 設(shè)汽車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，則由動(dòng)量定理可知： (F－kmg)t＝mv， 解得F＝kmg＋＝6.4×103 N。 方法二：利用動(dòng)能定理求解。 汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在10 s內(nèi)的位移為： s＝t＝150 m， 由動(dòng)能定理(F－kmg)s＝mv2， 得F＝＋kmg＝6.4×103 N。 方法三：利用牛頓第二定律求解。 a＝＝ m/s2＝3 m/s2， 再根據(jù)牛頓第二定律 F－kmg＝ma， 得F＝kmg＋ma＝6.4×103 N。 答案：6.4×103 N 9