高中數(shù)學(xué)周期函數(shù)、公式的總結(jié)、推導(dǎo)、證明過程

周期公式序號公式T理解或者公式特點(diǎn)例題1fx+a+fx+b=c2|a-b|自變量的和不是常數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。2fx+a=-f(x)即fx+a+fx=0是上一個(gè)公式的特例2a兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。3fx+a=kfx2a正負(fù)號，倒數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。4fx+a=1+fx1-fx4a類似第3個(gè)公。5fx+a=1-fx1+fx2a類似第3個(gè)公式。6fx=fx+a+fx-a例如：fx=fx-1-fx-2整理后：fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到：fx=fx+1+fx-16a兩個(gè)函數(shù)值之和等于另一個(gè)函數(shù)值，且兩個(gè)作為加數(shù)的函數(shù)的自變量是xa7fx+a=fx+b|a-b|圖像向左平移a個(gè)單位，和向左平移b個(gè)單位重合。原來兩個(gè)點(diǎn)x坐標(biāo)差的距離就是他們的周期。兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相等。8函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對稱軸x=a,x=b（ab）2|a-b|對稱軸多和偶函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對稱這兩個(gè)知識點(diǎn)相關(guān)9函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對稱中心G1a,c和G2b,c（ab）2|a-b|對稱中心多和奇函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對稱這兩個(gè)知識點(diǎn)相關(guān)10函數(shù)f(x)的圖像S有一個(gè)對稱中心G1b,c和一條對稱軸x=a，（ab）4|a-b|知識點(diǎn)涉及奇函數(shù)、偶函數(shù)以及函數(shù)圖像的自對稱以上基本是高中階段遇到的各種周期公式及其變形的總結(jié)。解周期問題，兩種方法：1.列舉多個(gè)數(shù)據(jù)，找尋規(guī)律和周期；2.通過抽象函數(shù)直接得到周期。1. 已知f(X)是R上不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有xfx+1=x+1f(x)，則ff52=解：令x=0，f(0)=0;令x=-12，f-12=0；令x=12，f32=0；令x=32，f52=0； ff52=f0=02. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fx=log21-x,x0 fx-1-fx-2,x>0，則f(2009)= 解：整理fx=fx-1-fx-2，得到fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到，fx=fx+1+fx-1由公式6知道周期為6，即fx+6=f(x)，x>0f(2009)=f3346+5=f(5)。由公式fx=fx-1-fx-2得f5=f4-f3=f3-f2-f3=-f2 =-f1-f0=-(f0-f-1-f0) =f-1=03. 已知函數(shù)f(x)滿足f1=14，4fxfy=fx+y+fx-y,x,yR，則f(2010)= 思路：消元和賦值。令x=x,y=1，則fx=fx+1+f(x-1)，根據(jù)公式6知道，f(x+6)=f(x)，f2010=f3356=f(0)。令y=0，則4fxf0=2f(x)， x不恒為零，f0=12f2010=12。下面兩頁是周期函數(shù)公式的周期推導(dǎo)證明過程，并總結(jié)了推導(dǎo)周期過程的一般思路。因?yàn)閣ord輸入數(shù)學(xué)公式太過麻煩，所以手寫了出來，以圖片的形式奉上。6