10、船cos θ＝v水，如圖6甲所示.
圖6
②若v水>v船，這時無論船頭指向什么方向，都無法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河寬d，尋找最短位移的方法是：如圖乙所示，從出發(fā)點A開始作矢量v水，再以v水末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，自出發(fā)點A向圓弧作切線即為船位移最小時的合運動的方向.這時船頭與河岸夾角θ滿足cos θ＝，最短位移x短＝，渡河時間t＝.
例3 已知某船在靜水中的速度為v1＝4 m/s，現(xiàn)讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100 m，水流速度為v2＝3 m/s，方向與河岸平行，
(1)欲使船以最短時間渡河，時間多長？位移有多大？
(
11、2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用時間是多少？
(3)若水流速度為v2′＝5 m/s，船在靜水中的速度為v1＝4 m/s不變，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)25 s 125 m (2) s (3)不能
解析 (1)由題意知，當船在垂直于河岸方向上的分速度最大時，渡河所用時間最短，河水流速平行于河岸，不影響渡河時間，所以當船頭垂直于河岸渡河時，所用時間最短，則最短時間為t＝＝ s＝25 s.
如圖甲所示，當船到達對岸時，船沿河流方向也發(fā)生了位移，由直角三角形的幾何知識，可得船的位移為l＝，由題意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得l＝125 m.
(2)分析可知，當船
12、的實際速度方向垂直于河岸時，船的位移最小，因船在靜水中的速度為v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的實際速度方向垂直于河岸.如圖乙所示，設船斜指向上游河對岸，且與河岸所成夾角為θ，則有v1cosθ＝v2，cosθ＝＝，則sinθ＝＝，所用的時間為t＝＝ s＝ s.
(3)當水流速度v2′＝5 m/s大于船在靜水中的速度v1＝4 m/s時，不論v1方向如何，其合速度方向總是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
【考點】小船渡河模型分析
【題點】小船渡河問題的綜合分析
1.要使船垂直于河岸橫渡，即路程最短，應使在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，這種情況只適用于v船
13、>v水時.
2.要使船渡河時間最短，船頭應垂直指向河對岸，即v船與水流方向垂直.
3.要區(qū)別船速v船及船的合運動速度v合，前者是發(fā)動機或劃行產(chǎn)生的分速度，后者是合速度.
針對訓練2 (多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航線.則其中可能正確的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的運動可看做水流的運動和小船運動的合運動.虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航線，即合速度的方向，小船合運動的速度方向就是其真實運動的方向，分析可知，實際航線可能正確的是A、B.
【考點】小船渡河模型分析
【題點】船頭指向、速度方向與渡河軌
14、跡問題
三、關聯(lián)速度分解問題
關聯(lián)速度分解問題指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題(下面為了方便，統(tǒng)一說“繩”)：
(1)物體的實際速度一定是合速度，分解時兩個分速度方向應取沿繩方向和垂直繩方向.
(2)由于繩不可伸長，一根繩兩端物體沿繩方向的速度分量大小相等.
例4 如圖7所示，用船A拖著車B前進時，若船勻速前進，速度為vA，當OA繩與水平方向夾角為θ時，則：(與B相連的繩水平且定滑輪的質(zhì)量及摩擦不計)
圖7
(1)車B運動的速度vB為多大？
(2)車B是否做勻速運動？
答案 (1)vAcos θ (2)不做勻速運動
解析 (1)把vA分解為一個沿繩方向的分速度
15、v1和一個垂直于繩的分速度v2，如圖所示，所以車前進的速度vB大小應等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcos θ.
(2)當船勻速向前運動時，θ角逐漸減小，車速vB將逐漸增大，因此，車B不做勻速運動.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分解
“關聯(lián)”速度的分解規(guī)律
1.分解依據(jù)：
(1)物體的實際運動就是合運動.
(2)由于繩、桿不可伸長，所以繩、桿兩端所連物體的速度沿著繩、桿方向的分速度大小相同.
2.分解方法：將物體的實際速度分解為垂直于繩、桿和沿繩、桿的兩個分量.
3.常見的速度分解模型(如圖8所示).
圖8
針對訓練3 如圖9
16、所示，A物塊以速度v沿豎直桿勻速下滑，經(jīng)細繩通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉動物體B在水平方向上運動.當細繩與水平面夾角為θ時，求物體B運動的速度vB的大小.
圖9
答案 vsin θ
解析 物塊A沿桿向下運動，有使繩子伸長和使繩子繞定滑輪轉(zhuǎn)動的兩個效果，因此繩子端點(即物塊A)的速度可分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個分速度，如圖所示.其中物體B的速度大小等于沿繩子方向的分速度vB.
則有vB＝vsin θ.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分析
1.(合運動性質(zhì)的判斷)關于運動的合成與分解，下列說法中不正確的是( )
A.物體的兩個分運動是直線運動
17、，則它們的合運動一定是直線運動
B.若兩個互成角度的分運動分別是勻速直線運動和勻加速直線運動，則合運動一定是曲線運動
C.合運動與分運動具有等時性
D.速度、加速度和位移的合成都遵循平行四邊形定則
答案 A
【考點】合運動性質(zhì)的判斷
【題點】由兩分運動性質(zhì)判斷合運動軌跡
2.(兩分運動的合成)(多選)一質(zhì)量為2 kg的質(zhì)點在如圖10甲所示的xOy平面內(nèi)運動，在x方向的速度－時間(v－t)圖象和y方向的位移－時間(y－t)圖象分別如圖乙、丙所示，由此可知( )
圖10
A.t＝0時，質(zhì)點的速度大小為12 m/s
B.質(zhì)點做加速度恒定的曲線運動
C.前2 s，質(zhì)點所受的
18、合力大小為10 N
D.t＝1 s時，質(zhì)點的速度大小為7 m/s
答案 BC
解析 由v－t圖象可知，質(zhì)點在x方向上做勻減速運動，初速度大小為12 m/s，而在y方向上，質(zhì)點做速度大小為5 m/s的勻速運動，故在前2 s內(nèi)質(zhì)點做勻變速曲線運動，質(zhì)點的初速度為水平初速度和豎直初速度的合速度，則初速度大?。簐0＝ m/s＝13 m/s，故A錯誤，B正確；由v－t圖象可知，前2 s，質(zhì)點的加速度大小為：a＝＝5 m/s2，根據(jù)牛頓第二定律，前2 s質(zhì)點所受合外力大小為F＝ma＝2×5 N＝10 N，故C正確；t＝1 s時，x方向的速度大小為7 m/s，而y方向速度大小為5 m/s，因此質(zhì)點的速
19、度大小為 m/s＝ m/s，故D錯誤.
【考點】速度和位移的合成與分析
【題點】速度的合成與分解
3.(合運動軌跡的判斷)(2018·溫州市新力量聯(lián)盟高一第二學期期中聯(lián)考)在學習運動的合成與分解時我們做過如圖11所示的實驗.在長約80～100 cm且一端封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體(小圓柱體恰能在管中勻速上浮)，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊，然后將玻璃管豎直倒置，在紅蠟塊勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面在水平方向上勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對于黑板面的移動軌跡可能是下列選項中的( )
圖11
答案 C
【考點】合運動性質(zhì)的判斷
【
20、題點】由兩分運動性質(zhì)判斷合運動軌跡
4.(關聯(lián)速度問題)(多選)如圖12所示，一人以恒定速度v0通過光滑輕質(zhì)定滑輪豎直向下拉繩使小車在水平面上運動，當運動到圖示位置時，細繩與水平方向成45°角，則此時( )
圖12
A.小車運動的速度為v0
B.小車運動的速度為v0
C.小車在水平面上做加速運動
D.小車在水平面上做減速運動
答案 BC
解析 將小車速度沿著繩子方向與垂直繩子方向進行分解，如圖所示，人拉繩的速度與小車沿繩子方向的分速度大小是相等的，根據(jù)三角函數(shù)關系vcos 45°＝v0，則v＝＝v0，B正確，A錯誤.隨著小車向左運動，小車與水平方向的夾角越來越大，設夾角為
21、α，由v＝知v越來越大，則小車在水平面上做加速運動，C正確，D錯誤.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分解
5.(小船渡河問題)小船在200 m寬的河中橫渡，水流速度是2 m/s，小船在靜水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗時最少，應如何航行？最短時間為多少？
(2)要使小船航程最短，應如何航行？最短航程為多少？
答案 (1)船頭正對河岸航行耗時最少，最短時間為50 s
(2)船頭偏向上游，與河岸成60°角，最短航程為200 m
解析 (1)如圖甲所示，船頭始終正對河岸航行時耗時最少，即最短時間tmin＝＝ s＝50 s.
(2)如圖
22、乙所示，航程最短為河寬d，即最短航程為200 m，應使v合′的方向垂直于河岸，故船頭應偏向上游，與河岸成α角，有cos α＝＝，解得α＝60°.
【考點】小船渡河模型分析
【題點】小船渡河問題的綜合分析
一、選擇題
考點一 運動的合成與分解
1.關于合運動、分運動的說法，正確的是( )
A.合運動的位移為分運動位移的矢量和
B.合運動的位移一定比其中的一個分位移大
C.合運動的速度一定比其中的一個分速度大
D.合運動的時間一定比分運動的時間長
答案 A
解析 位移是矢量，其運算遵循平行四邊形定則，A正確；合運動的位移可大于分位移，也可小于分位移，還可等于分位移，B錯
23、誤；同理可知C錯誤；合運動和分運動具有等時性，D錯誤.
【考點】合運動與分運動的特點
【題點】合運動與分運動的關系
2.豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內(nèi)有一個紅蠟塊能在水中勻速上浮.如圖1所示，當紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，第一次使玻璃管水平向右勻速運動，測得紅蠟塊運動到頂端所需時間為t1；第二次使玻璃管水平向右加速運動，測得紅蠟塊從下端運動到頂端所需時間為t2，則( )
圖1
A.t1＝t2 B.t1＞t2
C.t1＜t2 D.無法比較
答案 A
解析 由于分運動的獨立性，故玻璃管水平向右的分運動不影響紅蠟塊向上的運動，t1＝t2，所以A正確.
24、
【考點】合運動與合運動的關系
【題點】運動的獨立性
3.
圖2
如圖2所示，在一次救災工作中，一架離水面高為H m、沿水平直線飛行的直升飛機A，用懸索(重力可忽略不計)救援困在湖水中的傷員B，在直升飛機A和傷員B以相同的水平速率勻速運動的同時，懸索將傷員吊起.設經(jīng)t s時間后，A、B之間的距離為l m，且l＝H－t2，則在這段時間內(nèi)關于傷員B的受力情況和運動軌跡正確的是下列哪個圖( )
答案 A
解析 根據(jù)l＝H－t2，可知傷員B在豎直方向上是勻加速上升的，懸索中拉力大于重力，即表示拉力F的線段要比表示重力G的線段長，傷員在水平方向勻速運動，所以F、G都在豎直方向上；向
25、上加速，運動軌跡向上偏轉(zhuǎn)，只有A符合，所以在這段時間內(nèi)關于傷員B的受力情況和運動軌跡正確的是A.
【考點】合運動性質(zhì)的判斷
【題點】結(jié)合表達式判斷合運動軌跡和合運動性質(zhì)
4.
圖3
如圖3所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，用鉛筆靠著線的左側(cè)水平向右勻速移動，運動中始終保持懸線豎直且懸線總長度不變，則橡皮運動的速度( )
A.大小和方向均不變
B.大小不變，方向改變
C.大小改變，方向不變
D.大小和方向均改變
答案 A
解析
設鉛筆的速度為v，如圖所示，橡皮的速度分解成水平方向的v1和豎直方向的v2.因該過程中懸線始終豎直，故橡皮水平方向的速度與鉛筆移動速度相
26、同，即v1＝v.因鉛筆靠著線的左側(cè)水平向右移動，故懸線豎直方向長度減小的速度大小與鉛筆移動速度的大小相等，則橡皮豎直方向速度的大小也與鉛筆移動速度的大小相等，又因v1和v2的大小、方向都不變，故合速度(即橡皮運動的速度)大小、方向都不變，選項A正確.
【考點】合運動性質(zhì)的判斷
【題點】結(jié)合表達式判斷合運動軌跡和合運動性質(zhì)
5.在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上做初速度為零、加速度為a的勻加速運動，同時人頂著直桿以速度v0水平勻速移動，經(jīng)過時間t，猴子沿桿向上移動的高度為h，人頂桿沿水平地面移動的距離為x，如圖4所示.關于猴子的運動情況，下列說法中正確的是( )
圖4
A.相對地面的
27、運動軌跡為直線
B.相對地面做勻變速曲線運動
C.t時刻猴子相對地面的速度大小為v0＋at
D.t時間內(nèi)猴子相對地面的位移大小為x＋h
答案 B
解析 猴子在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運動，猴子相對地面的運動軌跡為曲線；因為猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相對地面猴子做的是勻變速曲線運動；t時刻猴子對地的速度大小為v＝；t時間內(nèi)猴子對地的位移大小為l＝，只有B正確.
【考點】速度和位移的合成與分解
【題點】速度和位移的合成與分解
6.物體在直角坐標系xOy所在平面內(nèi)由O點開始運動，其沿坐標軸方向的兩個分速度隨時間變化的圖象如圖5所示，則
28、對該物體運動過程的描述正確的是( )
圖5
A.物體在0～3 s做勻變速直線運動
B.物體在0～3 s做勻變速曲線運動
C.物體在3～4 s做變加速直線運動
D.物體在3～4 s做勻變速曲線運動
答案 B
解析 物體在0～3 s內(nèi)，x方向做vx＝4 m/s的勻速直線運動，y方向做初速度為0、加速度ay＝1 m/s2的勻加速直線運動，合初速度v0＝vx＝4 m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物體的合運動為勻變速曲線運動，如圖甲所示，A錯誤，B正確.
物體在3～4 s內(nèi)，x方向做初速度vx＝4 m/s、加速度ax＝－4 m/s2的勻減速直線運動，y方向做初速度v
29、y＝3 m/s、加速度ay＝－3 m/s2的勻減速直線運動，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物體的合運動為勻減速直線運動，如圖乙所示，C、D錯誤.
【考點】合運動性質(zhì)的判斷
【題點】由兩分運動性質(zhì)判斷合運動性質(zhì)
考點二 小船渡河問題
7.小船以一定的速率垂直河岸向?qū)Π秳澣?，當水流勻速時，它渡河的時間、發(fā)生的位移與水速的關系是( )
A.水速小時，位移小，時間也小
B.水速大時，位移大，但時間小
C.水速大時，位移大，但時間不變
D.位移、時間大小與水速大小無關
答案 C
解析 小船渡河時參與了順水漂流和垂直河岸橫渡兩個分運
30、動，由運動的獨立性和等時性知，小船的渡河時間決定于垂直河岸的分運動，等于河的寬度與垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向?qū)Π秳澣ィ识珊訒r間一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之則合位移小.
【考點】小船渡河模型分析
【題點】小船渡河的最短時間問題
8.
圖6
一只小船渡河，運動軌跡如圖6所示.水流速度各處相同且恒定不變，方向平行于岸邊；小船相對于靜水分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，船相對于靜水的初速度大小均相同、方向垂直于岸邊，且船在渡河過程中船頭方向始終不變.由此可以確定( )
A.船沿AD軌跡運動時，船相對于靜水做勻加速直線運動
B.船沿
31、三條不同路徑渡河的時間相同
C.船沿AB軌跡渡河所用的時間最短
D.船沿AC軌跡到達對岸前瞬間的速度最大
答案 D
解析 因為三種運動船的船頭垂直河岸，相對于靜水的初速度相同，垂直河岸方向運動性質(zhì)不同，沿水流方向運動相同，河的寬度相同，渡河時間不等，B錯誤；加速度的方向指向軌跡的凹側(cè)，依題意可知，AC徑跡是勻加速運動，AB徑跡是勻速運動，AD徑跡是勻減速運動，從而知道AC徑跡渡河時間最短，A、C錯誤；沿AC軌跡在垂直河岸方向是加速運動，故船到達對岸前瞬間的速度最大，D正確.
【考點】小船渡河模型分析
【題點】小船渡河問題的綜合分析
9.一快艇從離岸邊100 m遠的河流中央向岸邊行
32、駛.已知快艇在靜水中的速度－時間圖象如圖7甲所示；河中各處水流速度相同，且速度－時間圖象如圖乙所示.則( )
圖7
A.快艇的運動軌跡一定為直線
B.快艇的運動軌跡一定為曲線
C.快艇最快到達岸邊，所用的時間為 s
D.快艇最快到達岸邊，經(jīng)過的位移為100 m
答案 B
解析 兩分運動為一個是勻加速直線運動，另一個是勻速直線運動，知合速度的方向與合加速度的方向不在同一直線上，合運動為曲線運動，故A錯誤，B正確.當快艇船頭垂直于河岸時，渡河時間最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，而位移大于100 m，選項C、D錯誤.
【考點】小
33、船渡河模型分析
【題點】小船渡河的最短時間問題
考點三 繩關聯(lián)速度問題
10.
圖8
人用繩子通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉物體A，A穿在光滑的豎直桿上，當以速度v0勻速地拉繩使物體A到達如圖8所示位置時，繩與豎直桿的夾角為θ，則物體A實際運動的速度是( )
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
答案 D
解析
由運動的合成與分解可知，物體A參與兩個分運動：一個是沿著與它相連接的繩子的運動，另一個是垂直于繩子斜向上的運動.而物體A的實際運動軌跡是沿著豎直桿向上的，這一軌跡所對應的運動就是物體A的合運動，它們之間的關系如圖所示.由幾何關系可得v＝，所以
34、D正確.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分解
11.如圖9所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個物體A和B，它們通過一根繞過光滑輕質(zhì)定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，物體A以速率vA＝10 m/s勻速運動，在繩與軌道成30°角時，物體B的速度大小vB為( )
圖9
A.5 m/s B. m/s
C.20 m/s D. m/s
答案 D
解析 物體B的運動可分解為沿繩BO方向靠近定滑輪O使繩BO段縮短的運動和繞定滑輪(方向與繩BO垂直)的運動，故可把物體B的速度分解為如圖所示的兩個分速度，由圖可知vB∥＝vBcos α，由于繩
35、不可伸長，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos α，所以vB＝＝ m/s，選項D正確.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分解
二、非選擇題
圖10
12.(關聯(lián)速度問題)一輛車通過一根跨過光滑輕質(zhì)定滑輪的輕繩提升一個質(zhì)量為m的重物，開始車在滑輪的正下方，繩子的端點離滑輪的距離是H.車由靜止開始向左做勻加速直線運動，經(jīng)過時間t繩子與水平方向的夾角為θ，如圖10所示.試求：
(1)車向左運動的加速度的大?。?
(2)重物m在t時刻速度的大小.
答案 (1) (2)
解析 (1)車在時間t內(nèi)向左運動的位移：x＝，
由車做勻加速直線運動，得：x＝at2，
解得
36、：a＝＝.
(2)t時刻車的速度： v車＝at＝，
由運動的分解知識可知，車的速度v車沿繩的分速度大小與重物m的速度大小相等，即：v物＝v車cos θ，
解得：v物＝.
【考點】關聯(lián)速度的分解模型
【題點】繩關聯(lián)物體速度的分解
13.(運動的合成與分解)一物體在光滑水平面上運動，它在相互垂直的x方向和y方向上的兩個分運動的速度－時間圖象如圖11所示.
圖11
(1)計算物體的初速度大??；
(2)計算物體在前3 s內(nèi)的位移大小.
答案 (1)50 m/s (2)30 m
解析 (1)由題圖可看出，物體沿x方向的分運動為勻速直線運動，沿y方向的分運動為勻變速直線運動.x方向的初速度vx0＝30 m/s，y方向的初速度vy0＝－40 m/s；則物體的初速度大小為v0＝＝50 m/s.
(2)在前3 s內(nèi)，x方向的分位移大小
x3＝vx·t＝30×3 m＝90 m
y方向的分位移大小y3＝·t＝×3 m＝60 m，
故x＝＝ m＝30 m.
【考點】運動的合成和分解與運動圖象的綜合應用
【題點】運動的合成與分解與運動圖象的綜合應用
19
（浙江專用）2018-2019學年高中物理 第五章 曲線運動 微型專題 運動的合成與分解學案 新人教版必修2
