2020高中物理 第五章 曲線運動 第四節(jié) 圓周運動學(xué)案 新人教版必修2

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1、第四節(jié)　圓周運動 1．知道什么是勻速圓周運動，知道它是變速運動。 2．理解線速度、角速度、轉(zhuǎn)速、周期等概念，會對它們進行定量計算。 3．理解掌握v＝ωr和ω＝2πn等公式。 4．熟悉同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動的特點。 5．理解勻速圓周運動的多解問題。 1.線速度 (1)定義：物體做圓周運動通過的弧長與所用時間的比值，v＝。 (2)意義：描述做圓周運動的物體運動的快慢。 (3)方向：線速度是矢量，方向與圓弧相切，與半徑垂直。 (4)勻速圓周運動 ①定義：沿著圓周運動，并且線速度大小處處相等的運動。 ②性質(zhì)：線速度的方向是時刻變化的，所以是一種變速運動，勻速是指速率不變。

2、 2．角速度 (1)定義：物體做圓周運動轉(zhuǎn)過的角度與所用時間的比值，ω＝。 (2)角速度是矢量。 (3)意義：描述做圓周運動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢。 (4)單位 ①角的單位：弧長與半徑的比值表示角的大小，稱為弧度，符號：rad。 ②角速度的單位：弧度每秒，符號是rad/s或rad·s－1。 3．周期和轉(zhuǎn)速 (1)周期T：做圓周運動的物體轉(zhuǎn)過一周所用的時間，單位：秒(s)。 (2)轉(zhuǎn)速n：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位：轉(zhuǎn)每秒(r/s)或轉(zhuǎn)每分(r/min)。 (3)周期和轉(zhuǎn)速的關(guān)系：T＝(n單位是r/s)。 (4)周期和角速度的關(guān)系：T＝。 4．線速度與角速度的關(guān)系 (1

3、)在圓周運動中，線速度的大小等于角速度大小與半徑的乘積。 (2)公式：v＝ωr。 判一判 (1)做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的弧長相等。(　　) (2)做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移相同。(　　) (3)勻速圓周運動是一種勻速運動。(　　) 提示：(1)√　做勻速圓周運動的物體，線速度大小處處相等，根據(jù)Δs＝vΔt，相等時間內(nèi)通過的弧長相等。 (2)×　做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移大小相等，但方向可能不同。 (3)×　勻速圓周運動的線速度方向是時刻變化的，故是一種變速運動。 想一想 若鐘表的指針都做勻速圓周運動，秒針和分針的周期各是多少？

4、角速度之比是多少？ 提示：秒針的周期T秒＝1 min＝60 s，分針的周期T分＝1 h＝3600 s。 由ω＝ 得 ＝＝。 課堂任務(wù)　描述圓周運動的各物理量 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：鬧鐘和手表誰對？為什么？ 提示：都對。比較的內(nèi)容不一樣，鬧鐘比的是線速度，手表比的是角速度，線速度鬧鐘的大，角速度兩者相等。 活動2：鬧鐘所說的線速度是怎么得出的？利用手表的數(shù)據(jù)可以算出什么物理量？ 提示：鬧鐘所說的線速度是根據(jù)v＝計算出來的，Δs是秒針針尖在Δt時間轉(zhuǎn)過的弧長。根據(jù)手表所說的秒針針尖轉(zhuǎn)一周的時間可以計算其角速度，角速度ω＝，Δθ是秒針針尖在Δt

5、時間轉(zhuǎn)過的弧度。 活動3：線速度和角速度有什么關(guān)系？ 提示：設(shè)物體做圓周運動的半徑為r，Δt時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長為Δs，弧長對應(yīng)的圓心角為Δθ(單位：rad)，則Δs＝rΔθ。而物體做圓周運動的線速度v＝，角速度ω＝，代入上式可得到：v＝rω。 活動4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 (1)描述圓周運動的物理量及其關(guān)系匯總 注意：由v＝rω知，r一定時，v∝ω；v一定時，ω∝；ω一定時，v∝r。 (2)對勻速圓周運動的理解 ①勻速的含義： a．線速度v的大小不變，即速率不變。 b．轉(zhuǎn)動角速度ω不變。 ②F合≠0，a≠0：由于勻速圓周運動是曲線運動，速度的方向時刻發(fā)生變化，故勻

6、速圓周運動是變速運動，其合外力和加速度一定不為零。 例1　做勻速圓周運動的物體，10 s內(nèi)沿半徑為20 m的圓周運動100 m，試求該物體做圓周運動時， (1)線速度的大??； (2)角速度的大?。? (3)周期的大小。 (1)線速度、角速度、周期的定義式各是什么？ 提示：v＝；ω＝；T＝。 (2)線速度、角速度、周期的關(guān)系式是什么？ 提示：v＝ωr，T＝＝。 [規(guī)范解答]　(1)依據(jù)線速度的定義式v＝可得： v＝＝ m/s＝10 m/s。 (2)依據(jù)v＝ωr得： ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。 (3)依據(jù)ω＝得：T＝＝ s＝4π s。 [完美答案]　(1

7、)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s 重視各物理量的定義和聯(lián)系 物體在做勻速圓周運動時(設(shè)其軌道半徑為r)，我們可以用多個物理量(如線速度v、角速度ω、周期T等)來描述物體運動的快慢。這些物理量之間的關(guān)系可以從它們的定義出發(fā)得到：v＝ωr，ω＝。 　關(guān)于做勻速圓周運動的物體，下列說法正確的是(　　) A．因為在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長度相等，所以線速度恒定 B．如果物體在0.1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過30°角，則角速度為300 rad/s C．若半徑r一定，則線速度與角速度成反比 D．若半徑為r，周期為T，則線速度為v＝ 答案　D 解析　物體做勻速圓周運動時，線

8、速度大小恒定，方向沿圓周的切線方向，在不斷地改變，故A錯誤；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B錯誤；線速度與角速度的關(guān)系為v＝ωr，由該式可知，r一定時，v∝ω，C錯誤；由線速度的定義可得，在轉(zhuǎn)動一周時有v＝，D正確。 課堂任務(wù)　同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動問題 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：圖甲、乙中A、B兩點有什么物理量是相同的？ 提示：圖甲A、B兩點在自行車的同一條鏈條上，這決定了A、B兩點的線速度大小是相等的。同一條鏈條上的所有點的線速度大小都一樣。圖乙的兩個齒輪相同時間必定走過相同弧長，故圖乙的A、B兩點線速度大小相等。它們和圖甲的A、B是類似的，同

9、理還有皮帶傳動、摩擦小輪，由于邊緣始終沒有相對位移，相同時間必定走過相同弧長，我們可以總結(jié)為“同線的線速度相等”。 活動2：圖甲中B、C兩點有什么物理量是相同的？ 提示：B、C的轉(zhuǎn)軸相同，B轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)，C一定同時轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)，所以B、C角速度是相等的。我們稱為“同軸轉(zhuǎn)動”。 活動3：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 常見的傳動裝置及其特點 例2　如圖所示的皮帶傳動裝置，主動輪O1上兩輪的半徑分別為3r和r，從動輪O2的半徑為2r，A、B、C分別為輪邊緣上的三點，設(shè)皮帶不打滑，求： (1)A、B、C三點的線速度大小之比vA∶vB∶vC＝________。 (2)A、B

10、、C三點的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________。 (1)A、B、C三點中，哪兩點的角速度相等？哪兩點的線速度大小相等？ 提示：A、B兩點的角速度相等，B、C兩點的線速度大小相等。 (2)A、B兩點的線速度與它們的半徑成________；B、C兩點的角速度與它們的半徑成________。 提示：正比　反比 [規(guī)范解答]　 (1) ? (2) ? [完美答案]　(1)3∶1∶1　(2)2∶2∶1 識記傳動裝置的兩個重要特點 (1)固定在一起同軸轉(zhuǎn)動的物體角速度相同。 (2)不打滑的摩擦傳動、齒輪傳動、皮帶傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等。

11、　一個圓環(huán)，以豎直直徑AB為軸勻速轉(zhuǎn)動，如圖所示，求環(huán)上M、N兩點的： (1)角速度之比； (2)線速度的大小之比。 答案　(1)1∶1　(2)∶1 解析　(1)M、N是同一環(huán)上的兩點，它們與環(huán)具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1。 (2)兩點做圓周運動的半徑之比rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝∶1，故vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝∶1。 課堂任務(wù)　圓周運動的周期性造成多解 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：對準A就能在最高點直接射中A嗎？ 提示：不能，飛鏢要做平拋運動，在豎直方向會向下運動。 活動2：飛鏢射中A時A轉(zhuǎn)

12、動到哪個位置？ 提示：A做的是圓周運動，而飛鏢在初速度所在豎直平面內(nèi)做平拋運動，故射中A時A必定轉(zhuǎn)到最低點的位置。 活動3：飛鏢射中A時A一定轉(zhuǎn)動半圈嗎？ 提示：不一定，飛鏢射中A時A可能轉(zhuǎn)動半圈，也可能是一圈半、兩圈半……總之是半圈的奇數(shù)倍。 活動4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 圓周運動的周期性和多解性：勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動，其中一個做勻速圓周運動，另一個做其他形式的運動。因勻速圓周運動具有周期性，使得一個事件可能在前一個周期中發(fā)生，也可能在后一個周期中發(fā)生，這就要求我們在確定做勻速圓周運動物體的周期時，必須把各種可能都考慮進去。處理這類問題時，關(guān)

13、鍵要把一個物體的運動時間t，與圓周運動的周期T建立起聯(lián)系，這樣才能較快地解決問題。 例3　如圖所示，一位同學(xué)做飛鏢游戲，已知圓盤的直徑為d，飛鏢距圓盤L，且對準圓盤上最高點A點水平拋出，初速度為v0，飛鏢拋出的同時，圓盤繞垂直圓盤過盤心O的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω。若飛鏢恰好擊中A點，則下列關(guān)系正確的是(　　) A．dv＝L2g B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…) C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3…) (1)飛鏢擊中A所需要的時間是多少？ 提示：飛鏢做平拋運動，飛鏢擊中A所需要的時間就是飛鏢水平方向運動到A所在的豎直平

14、面所需要的時間，即飛鏢平拋時間：t＝。 (2)A被擊中時，A轉(zhuǎn)過的時間用角速度表示應(yīng)該為多少？ 提示：A被擊中時，轉(zhuǎn)過角度是半圈的奇數(shù)倍，即θ＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)，則A點轉(zhuǎn)動的時間t＝。 [規(guī)范解答]　依題意飛鏢做平拋運動的同時，圓盤上A點做勻速圓周運動，恰好擊中A點，說明A正好在最低點被擊中，則A點轉(zhuǎn)動的時間t＝，平拋的時間t＝，則有＝(n＝0,1,2,3…)，B正確。平拋的豎直位移為d，則d＝gt2，聯(lián)合t＝得dv＝L2g，A錯誤。d＝gt2聯(lián)合t＝解得dω2＝gπ2·(2n＋1)2(n＝0,1,2,3…)，D錯誤。v0不是圓盤的線速度，v0與ω不滿足v＝ωr，C

15、錯誤。 [完美答案]　B 解決圓周運動多解問題的關(guān)鍵 (1)知道兩個運動的時間相等。 (2)會利用運動規(guī)律列出兩個運動的時間表達式。 　如圖所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B，求小球的初速度及圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的大小。 答案　R 　2nπ (n＝1,2,3…) 解析　設(shè)球在空中運動時間為t，此圓盤轉(zhuǎn)過θ角， 則R＝vt，h＝gt2 故初速度v＝R ，t＝， 由題意知θ＝n·2π(n＝1,2,3…) 又因為θ＝ωt， 則圓盤角速度ω＝＝2nπ (n＝1,2,3…)。

16、 A組：合格性水平訓(xùn)練 1．(對勻速圓周運動的認識)對于做勻速圓周運動的物體，下列說法中不正確的是(　　) A．相等的時間內(nèi)通過的路程相等 B．相等的時間內(nèi)通過的弧長相等 C．相等的時間內(nèi)通過的位移相等 D．在任何相等的時間里，連接物體和圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度都相等 答案　C 解析　勻速圓周運動是指線速度大小不變的圓周運動，因此在相等時間內(nèi)通過的路程相等，弧長相等，轉(zhuǎn)過的角度也相等，A、B、D正確；相等時間內(nèi)通過的位移大小相等，方向不一定相同，故C錯誤。 2．(角速度、周期和轉(zhuǎn)速)(多選)一精準轉(zhuǎn)動的機械鐘表，下列說法正確的是(　　) A．

17、秒針轉(zhuǎn)動的周期最長 B．時針轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速最小 C．秒針轉(zhuǎn)動的角速度最大 D．秒針的角速度為 rad/s 答案　BCD 解析　秒針轉(zhuǎn)動的周期最短，角速度最大，A錯誤，C正確；時針轉(zhuǎn)動的周期最長，轉(zhuǎn)速最小，B正確；秒針的角速度為ω＝ rad/s＝ rad/s，故D正確。 3.(線速度與角速度)如圖所示是一個玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三個點，當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時，下列表述正確的是(　　) A．a(chǎn)、b和c三點的線速度大小相等 B．a(chǎn)、b和c三點的角速度大小相等 C．a(chǎn)、b的角速度比c的大 D．c的線速度比a、b的大 答案　B 解析　同一玩具陀螺上的

18、三點繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動，因此角速度相同，B正確，C錯誤；c的半徑最小，故它的線速度最小，a、b的半徑相同，二者的線速度大小相等，A、D錯誤。 4.(傳動問題)如圖所示，甲、乙、丙三個齒輪(齒未畫出)的半徑分別為r1、r2、r3，并且r1＜r2＜r3。若甲齒輪的角速度為ω1，則丙齒輪的角速度為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　甲、乙、丙三個齒輪邊緣上各點的線速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，A正確。 5．(同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動問題)如圖所示是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖，其中A是半徑為r1的大齒輪，B是半徑為r2的小齒輪，C是半徑為r3的后輪，假

19、設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n r/s，則自行車前進的速度為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　前進速度即為后輪的線速度，由于同一個輪上的各點的角速度相等，A、B兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，又ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝。C正確。 6.(傳動問題)如圖所示的齒輪傳動裝置中，主動輪的齒數(shù)z1＝24，從動輪的齒數(shù)z2＝8，當(dāng)主動輪以角速度ω順時針轉(zhuǎn)動時，從動輪的運動情況是(　　) A．順時針轉(zhuǎn)動，周期為 B．逆時針轉(zhuǎn)動，周期為 C．順時針轉(zhuǎn)動，周期為 D．逆時針轉(zhuǎn)動，周期為 答案　B 解析　主動輪順時針轉(zhuǎn)動，從動輪

20、逆時針轉(zhuǎn)動，兩輪邊緣的線速度大小相等，由齒數(shù)關(guān)系知主動輪轉(zhuǎn)一周時，從動輪轉(zhuǎn)三周，故T從＝T主＝·＝，B正確。 7．(描述圓周運動的物理量)發(fā)動機的曲軸每分鐘轉(zhuǎn)2400周，求： (1)曲軸轉(zhuǎn)動的周期與角速度； (2)距轉(zhuǎn)軸r＝0.2 m的點的線速度大小。 答案　(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s 解析　(1)由于曲軸每秒鐘轉(zhuǎn)＝40(周)，周期T＝ s；而每轉(zhuǎn)一周角度為2π rad，因此曲軸轉(zhuǎn)動的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s。 (2)已知r＝0.2 m，因此這一點的線速度v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。 8.(同軸轉(zhuǎn)動和皮帶

21、傳動問題)如圖所示為皮帶傳動裝置，皮帶輪的圓心分別為O、O′，A、C為皮帶輪邊緣上的點，B為AO連線上的一點，RB＝RA，RC＝RA，當(dāng)皮帶輪勻速轉(zhuǎn)動時，皮帶與皮帶輪之間不打滑，求A、B、C三點的角速度大小之比、線速度大小之比。 答案　2∶2∶3　2∶1∶2 解析　由題意可知，A、B兩點在同一輪上，因此ωA＝ωB， 又皮帶不打滑，所以vA＝vC， 故可得ωC＝＝＝ωA， 所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3。 又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝， 所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2。 9．(描述圓周運動的各物理量間的關(guān)系)地球半徑R＝6400 k

22、m，站在赤道上的人和站在北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的角速度分別是多大？他們的線速度分別是多大？ 答案　7.3×10－5 rad/s　7.3×10－5 rad/s　467.2 m/s　233.6 m/s 解析　畫出地球自轉(zhuǎn)示意圖，如圖所示，設(shè)赤道上的人站在A點，北緯60°上的人站在B點，地球自轉(zhuǎn)角速度固定不變，A、B兩點的角速度相同，有 ωA＝ωB＝＝ rad/s＝7.3×10－5 rad/s 依題意可知，A、B兩處站立的人隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動的半徑分別為：RA＝R，RB＝Rcos60°， 則由v＝ωr可知，A、B兩點的線速度分別為： vA＝ωARA＝7.3×10－5×640

23、0×103 m/s＝467.2 m/s vB＝ωBRB＝7.3×10－5×6400×103× m/s＝233.6 m/s 即赤道上和北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的角速度都為7.3×10－5 rad/s，赤道上和北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的線速度分別為467.2 m/s和233.6 m/s。 B組：等級性水平訓(xùn)練 10. (線速度與角速度)兩個小球固定在一根長為L的桿的兩端，繞桿上的O點做圓周運動，如圖所示。當(dāng)小球1的速度為v1時，小球2的速度為v2，則轉(zhuǎn)軸O到小球2的距離是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　兩球在同一桿上，旋轉(zhuǎn)的角速度相等，均為ω，設(shè)兩

24、球的轉(zhuǎn)動半徑分別為r1、r2，則r1＋r2＝L。又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，聯(lián)立得r2＝，B正確。 11.(皮帶傳動問題)(多選)如圖所示為某一皮帶傳動裝置，主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2。已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是(　　) A．從動輪做順時針轉(zhuǎn)動 B．從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動 C．從動輪的轉(zhuǎn)速為n D．從動輪的轉(zhuǎn)速為n 答案　BC 解析　主動輪順時針轉(zhuǎn)動時，皮帶帶動從動輪逆時針轉(zhuǎn)動，A項錯誤，B項正確；由于兩輪邊緣線速度大小相同，根據(jù)v＝2πrn，可得兩輪轉(zhuǎn)速與半徑成反比，所以C項正確，D項錯誤。 12.(圓周運動的綜合問題

25、)如圖所示，半徑為R的圓輪在豎直面內(nèi)繞過O點垂直于圓輪的軸勻速轉(zhuǎn)動，輪上a、b兩點與O的連線相互垂直，a、b兩點均粘有一個小物體，當(dāng)a點轉(zhuǎn)至最低位置時，a、b兩點處的小物體同時脫落，經(jīng)過相同時間落到水平地面上，圓輪最低點距地面高度為R。 (1)試判斷圓輪的轉(zhuǎn)動方向(說明判斷理由)； (2)求圓輪轉(zhuǎn)動的角速度大小。 答案　(1)見解析　(2) 解析　(1)由題意知，a點處物體做平拋運動，若與b點處物體下落的時間相同，則b點處物體必須做豎直下拋運動，故知圓輪轉(zhuǎn)動方向為逆時針方向。 (2)a平拋：R＝gt2① b豎直下拋：2R＝v0t＋gt2② 由①②得v0＝③ 又因ω＝④

26、由③④解得ω＝。 13.(圓周運動的多解問題)如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)繞O點做勻速圓周運動，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時，O點正上方有另一小球P在距圓周最高點h處開始自由下落，要使兩球在圓周最高點相碰，則Q球的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？ 答案　ω＝(4n＋1) (n＝0,1,2,3…) 解析　設(shè)P球自由下落到圓周最高點的時間為t，由自由落體運動規(guī)律可得h＝gt2， 解得t＝。 經(jīng)過時間t，Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點，才能與P球在圓周最高點相碰，其做勻速圓周運動，設(shè)周期為T，有t＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…) 兩式聯(lián)立再由T＝得，(4n＋1)＝。 所以ω＝(4n＋1) (n＝0,1,2,3…)。 - 17 -