《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計

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《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計 一、 設(shè)計理念 1. 課標(biāo)解讀： 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）中指出：（1）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。（2）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、反思與建構(gòu)等思維過程，提高學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷的能力（3）高中數(shù)學(xué)課程實施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵，刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。（3）高中數(shù)學(xué)課程提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)；提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合。（4）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)建立合理、科學(xué)的評價體系；評價既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程；過程性評價應(yīng)關(guān)注對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想等過程的評價，關(guān)注對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的與人合作的態(tài)度、表達(dá)與交流的意識的評價。 基于課表理念的指導(dǎo)，本節(jié)課教學(xué)方法選擇以問題探究、練習(xí)為主、以講授法輔。教學(xué)過程側(cè)重知識的自主建構(gòu)和應(yīng)用，重視信息技術(shù)在教學(xué)中的輔助作用。 2. 高考解讀： 解析幾何問題著重考查解析幾何的基本思想，利用代數(shù)的方法研究幾何問題是解析幾何的基本特點和性質(zhì)。因此，在解題的過程中計算占了很大的比例，對運(yùn)算能力有較高的要求，但計算要根據(jù)題目中曲線的特點和相互之間的關(guān)系進(jìn)行，所以曲線的定義和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)。解析幾何試題除考查概念與定義、基本元素與基本關(guān)系外，還突出考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等思想方法。 3. 教材解讀： 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是《數(shù)學(xué)選修2-1》第二章《圓錐曲線與方程》3.1“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，教學(xué)課時為1課時。圓錐曲線是一個重要的幾何模型，有許多幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，同時，圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要素材，而雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種，作為最后一種圓錐曲線來學(xué)習(xí)充分考慮到了知識學(xué)習(xí)由易到難的教學(xué)要求。雙曲線可以與橢圓類比學(xué)習(xí)，主要內(nèi)容是：①探求軌跡（雙曲線）；②學(xué)習(xí)雙曲線概念；③推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；④學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單求法，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系。 二、 教學(xué)目標(biāo)： 1. 知識與技能： （1） 能理解并掌握雙曲線的定義，了解雙曲線的焦點、焦距； （2） 能掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置。 （3） 能根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2. 過程與方法： （1） 經(jīng)歷雙曲線軌跡的探究，培養(yǎng)觀察能力和探索發(fā)現(xiàn)能力。 （2） 在雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)類比推理能力、歸納能力，體會求軌跡方程過程中數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。 3. 情感、態(tài)度與價值觀： （1） 經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)的對稱美和簡單美。 （2） 通過主動探索，感受探索的樂趣，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。 （3） 經(jīng)歷雙曲線定義的獲得過程，養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度 三、 教學(xué)重點和難點： 1. 教學(xué)重點： （1） 雙曲線的定義。 （2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2. 教學(xué)難點 （1） 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置。 （2） 根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 四、 學(xué)習(xí)者分析 1. 知識結(jié)構(gòu)：雙曲線是圓錐曲線中最后學(xué)習(xí)的曲線，再此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓曲線，對學(xué)習(xí)曲線方程已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)和方法，運(yùn)用類比的學(xué)習(xí)方法得到雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程不太困難。 2. 認(rèn)知結(jié)構(gòu)：高二學(xué)生已具備一定的類比轉(zhuǎn)化及分析問題的能力，但對于復(fù)雜問題的處理還不夠靈活，因此在課堂上要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)教師的點撥引領(lǐng)效果。 3. 授課班級學(xué)生特點：本節(jié)課教學(xué)對象是南校區(qū)文科普通班學(xué)生，學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)較弱，根據(jù)班級的整體水平以及對新課標(biāo)的解讀，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程不在課堂完成，而是設(shè)計為A類學(xué)生的必做作業(yè)及其他學(xué)生的興趣作業(yè)。 五、 內(nèi)容分析： 本節(jié)內(nèi)容主要分為： 1. 復(fù)習(xí)引入： 復(fù)習(xí)橢圓的定義，提出問題“將橢圓定義中‘之和’改為‘之差’，軌跡是什么？”。通過拉鏈動畫演示探究雙曲線的軌跡，引入課題“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。 2. 課程講解： （1） 雙曲線的定義：在這一環(huán)節(jié)采用啟發(fā)式教學(xué)法探究雙曲線的定義，學(xué)生要理解雙曲線定義中“差的絕對值”和“常數(shù)大于0小于兩定點距離”的條件。 （2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：在這一環(huán)節(jié)進(jìn)一步體會解析幾何中求曲線方程的一般方法，根據(jù)本班的具體情況，弱化方程的推導(dǎo)過程，直接給出方程，讓學(xué)生類比橢圓的方程進(jìn)行理解學(xué)習(xí)，特別注意橢圓和雙曲線焦點位置判斷和a、b、c關(guān)系的不同。 3. 知識應(yīng)用： 在這一環(huán)節(jié)通過例題向?qū)W生示范規(guī)范解題過程，通過練習(xí)檢測鞏固學(xué)生是否突破難點：即通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置和根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 4. 課堂小結(jié)： 在這一環(huán)節(jié)要求學(xué)生回顧本節(jié)課主要內(nèi)容，考查學(xué)生對課堂目標(biāo)的掌握情況，同時展示學(xué)習(xí)目標(biāo)，幫助每個學(xué)生反思是否完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。 六、 教學(xué)方法和評價 本節(jié)課以探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法為主、講授法為輔的教學(xué)方法，學(xué)生主要通過自主探究和小組協(xié)作的方法完成學(xué)習(xí)。 七、 教學(xué)資源： 1. 傳統(tǒng)的排式教室，投影儀和黑板。 2. 課本及配套課件。 八、 教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)引入 【知識復(fù)習(xí)】 復(fù)習(xí)提問“橢圓的定義是什么？” 舉手回答橢圓的定義 復(fù)習(xí)橢圓的定義并引入新課題 【新課引入】 1.設(shè)問：“若將橢圓定義中的‘之和’改為‘之差’，結(jié)果如何？ 理解問題，產(chǎn)生探究興趣 由和變差，快速引入新課 2.軌跡探究： （1）解釋拉鏈探究軌跡原理：拉鏈在拉開和合攏過程中，兩邊長度相等，現(xiàn)將拉鏈的一邊的端點固定，另一邊選擇一點固定。 引發(fā)學(xué)生思考：拉鏈咬合處到固定的兩點的長度有什么關(guān)系？拉鏈在拉開和合攏過程中咬合處到兩個固定點的距離如何變化？ 說明現(xiàn)在拉鏈的咬合處放一支筆，那么在拉鏈拉開或合攏過程中筆尖留下的軌跡上的點滿足到定點距離之差為定值。 思考發(fā)現(xiàn)：到一個定點距離比另一個定點距離長多余的那一部分；距離在變大或者變小，但距離之差不變。理解拉鏈畫雙曲線的原理。 設(shè)計的需要學(xué)生思考的兩個問題是拉鏈畫雙曲線軌跡中兩個很關(guān)鍵的點， 通過這兩個思考問題，理解借助拉鏈畫出來的軌跡上的點滿足到定點的距離之差是常數(shù)，從而能夠順利的理解后面的雙曲線的定義。 （2）動畫演示雙曲線軌跡，說明點的軌跡是左右兩支曲線，取名雙曲線 觀看軌跡的形成過程及結(jié)果 使用動畫既能形象直觀的展示軌跡形成過程，幫助學(xué)生順利理解雙曲線上點的特點，同時節(jié)省了時間。 3.引入課題并板書“雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程” 目標(biāo)展示 課件展示學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)生了解學(xué)習(xí)目標(biāo)，目標(biāo)做指引，學(xué)習(xí)更高效 新課講解 【雙曲線的定義探究】 1.提問：你能否給雙曲線下個定義？ 雙曲線下定義 學(xué)生在下定義時會錯誤的給出“距離之差是常數(shù)”，設(shè)計讓學(xué)生先試誤，對知識記憶深刻。 2.分析：右支是到定點F1、F2距離之差為2a的點的集合，左支是距離之差為-2a的點的集合，兩支則為距離之差的絕對值為2a定值的點的集合。 理解雙曲線定義中常數(shù)是“差的絕對值”。 通過對錯誤的更正，學(xué)生對定義中“差的絕對值”理解更深刻。 3.雙曲線定義 （1）給出雙曲線的初步定義“平面內(nèi)到兩個定點F1、F2距離之差的絕對值是常數(shù)的點的集合叫雙曲線”。 （2）提問：類比橢圓定義，橢圓中要求常數(shù)大于F1F2之間距離，雙曲線定義中的常數(shù)有沒有條件限制？ （3）提問：等于F1F2的軌跡是什么？ （4）思考：若常數(shù)為0，軌跡是什么？ （5）課件展示雙曲線的完整定義，同時給出焦點和焦距的定義。 思考并回答：常數(shù)要小于F1F2；并解釋原因：三角形中兩邊之差小于第三邊。 思考回答：兩條射線 思考回答線段F1F2的中垂線 理解掌握：雙曲線定義及焦點焦距概念 根據(jù)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀，學(xué)生對知識理解后才能自主建構(gòu)為自己的知識。設(shè)計的這幾個思考問題能幫助學(xué)生理解雙曲線定義中常數(shù)的條件。對于條件限制，由學(xué)生先猜想，再分析不滿足條件時點的軌跡，證明猜想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。 【雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程探究】 1. 回憶求曲線方程的一般步驟 2.雙曲線焦點在x軸的標(biāo)準(zhǔn)方程的探究 （1）建系：提問：雙曲線如何建系？分析F1、F2點的坐標(biāo)（-c，0）（c，0） （2）設(shè)點：設(shè)M（x，y）為雙曲線上任意一點 （3）列式：首先給出定義式 ，由定義帶入點坐標(biāo)列式。 （4） 化簡：分析和橢圓列式的異同點，點撥化簡思，給出化簡結(jié)果。 3. 雙曲線方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：提出問題：比較雙曲線與橢圓A.標(biāo)準(zhǔn)方程有何異同點；B.a，b，c的關(guān)系有何異同點？ 4. 雙曲線焦點在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程：給出方程，要求Ａ類學(xué)生和其他感興趣的同學(xué)課下證明。 5. 焦點在x軸和在y軸的兩類雙曲線方程比較：課件給出雙曲線的兩類方程，板書同時提問：如何通過雙曲線的方程判斷焦點的位置。 6. 鞏固練習(xí) 課件展示練習(xí)1：求雙曲線的焦點坐標(biāo) 回答：一般步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡 回答：“以F1F2所在直線為x軸，以F1F2中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系”的建系過程。 和橢圓列式比較，發(fā)現(xiàn)異同點，回憶橢圓方程的化簡思路，感興趣的同學(xué)課后推導(dǎo)。 回答標(biāo)準(zhǔn)方程的：相同點：形式一樣 不同點：兩式運(yùn)算一減一加，a2始終對應(yīng)系數(shù)為正的一式 a,b,c關(guān)系： 相同點：都有一數(shù)平方等于另兩數(shù)平方和關(guān)系 不同點：雙曲線中c2=a2+b2，c值最大，a、b大小關(guān)系不確定；橢圓中a2=b2+c2，a值最大，b、c大小關(guān)系不確定 通過雙曲線的建系說明進(jìn)一步體會對稱建系的原則 根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀，采用先行組織者策略，將新知識與所學(xué)知識建立聯(lián)系，學(xué)生能夠更順利的學(xué)習(xí)新知識，同時建立清晰的知識網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。 通過練習(xí)檢測是否突破難點：由雙曲線方程判斷焦點位置 習(xí)題練習(xí) 【例題講解】 例1．已知雙曲線的焦點為F1(-2,0)、F2(2,0),雙曲線過點(3,)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析解題過程并板書示范規(guī)范解答過程。 思考并分析解題過程。觀看規(guī)范書寫。 通過規(guī)范書寫示范，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的規(guī)范解題習(xí)慣。 【習(xí)題練習(xí)】 1.練習(xí)2： 已知雙曲線的焦點為(0,-4),(0,4),雙曲線上任意一點P到焦點的距離之差的絕對值為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2.高考鏈接： 已知雙曲線與橢圓 的焦點相同，雙曲線任意一點P到焦點的距離之差的絕對值為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 一學(xué)生上黑板完成，其他學(xué)生練習(xí)本上完成 練習(xí)高考題 1. 檢測學(xué)生是否掌握用定義求雙曲線方程的方法。 2. 通過練習(xí)加深學(xué)生對雙曲線定義的理解。 3. 黑板演示具有將問題暴露或者良好示范性的效果。 將課堂練習(xí)提升到高考高度 課堂小結(jié) 1. 本節(jié)課你收獲了什么？ 2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)照應(yīng) 學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識 學(xué)生對照學(xué)習(xí)目標(biāo)，反思達(dá)成程度 反思收獲能夠幫助學(xué)生梳理總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容 對照學(xué)習(xí)目標(biāo)，反思完成度，以便查漏補(bǔ)缺。 作業(yè)布置 1. 個人作業(yè)：課本P43習(xí)題2-3 A組第1,2,3題。 2. 合作作業(yè)：從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)及abc之間關(guān)系四個方面比較雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系 3. 興趣作業(yè)（A類必做）：推導(dǎo)雙曲線的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)生課下完成作業(yè) 1. 通過個人作業(yè)鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容。 2.合作作業(yè)能夠幫助學(xué)生深刻理解橢圓和雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系。 3.興趣作業(yè)能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力。 承上啟下 播放《雙曲線》歌曲，指出雙曲線不僅美，而且有內(nèi)涵，下節(jié)課通過雙曲線的性質(zhì)來解讀。 欣賞歌曲 為下節(jié)課做鋪墊，讓學(xué)生對下節(jié)課雙曲線的性質(zhì)抱有興趣和期待。 九、 板書設(shè)計