專題1實數(shù)及其運算

中國領(lǐng)先的個性化教育品牌精銳教育學科教師輔導講義年 級： 輔導科目：數(shù)學 課時數(shù)：3課 題實數(shù)及其運算教學目的教學內(nèi)容中考要求：1.理解有理數(shù)的意義，能用書抽上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小，會用科學計數(shù)法表示數(shù)；借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算及簡單的混合運算，能運用運算律簡化運算。2.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系；會用平方運算求某些非負數(shù)的算術(shù)平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根。3.能用有理數(shù)個估計一個無理數(shù)的大致范圍，了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，能用計算器進行近似計算并按要求對結(jié)果取近似值，能運用實數(shù)的運算解決一些簡單的實際問題。第1講 走進實數(shù)世界一、【三年中考】1(2010·寧波)3的相反數(shù)是()A3 B. C3 D解析：因3的相反數(shù)可表示為(3)3，故選A.答案：A2(2010·臺州)4的絕對值是()A4 B4 C. D解析：由一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，得|4|4，故選A.答案：A3(2010·湖州)3的倒數(shù)是()A3 B C. D3解析：由倒數(shù)的定義可得3的倒數(shù)是，故選C.答案：C4(2009·溫州)在0,1，2，3.5這四個數(shù)中，是負整數(shù)的是()A0 B1 C2 D3.5解析：由實數(shù)的分類可知，2是負整數(shù)，故選C.答案：C5(2008·金華)如果3噸表示運入倉庫的大米噸數(shù)，那么運出5噸大米表示為()A5噸 B5噸 C3噸 D3噸解析：因互為相反意義的量中，一個用“”表示，則另一個用“”表示，所以運出5噸可表示為5噸，故選A.答案：A62010·湖州)2010年5月，湖州市第11屆房交會總成交金額約2.781億元近似數(shù)2.781億元的有效數(shù)字的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析：因為2.781中有4個有效數(shù)字，故選D.答案：D7(2010·紹興)自上海世博會開幕以來，中國館以其獨特的造型吸引了世人的目光據(jù)預測，在會展期間，參觀中國館的人次數(shù)估計可達到14 900 000，此數(shù)用科學記數(shù)法表示是()A1.49×106 B0.149×108 C14.9×107 D1.49×107解析：由科學記數(shù)法的形式a×10n，(1|a|<10，n為整數(shù))可得14 900 0001.49×107.故選D.答案：D8(2010·寧波)據(jù)中國經(jīng)濟周刊報道，上海世博會第四輪環(huán)?；顒油顿Y總額高達820億元，其中820億用科學記數(shù)法表示為()A0.82×10 11 B8.2×1010 C8.2×109 D82×108解析：因820億820×1088.2×1010，故選B.答案：B9(2009·嘉興)用四舍五入法，精確到0.1，對5.649取近似值的結(jié)果是_解析：由題目要求可得5.6495.6.答案：5.610(2010·嘉興)據(jù)統(tǒng)計，2009年嘉興市人均GDP約為4.49×104，比上年增長7.7%.其中，近似數(shù)4.49×104有_個有效數(shù)字解析：因為4.49×104中有效數(shù)字分別是4,4,9.共3個答案：3二、【考點知識梳理】（一） 實數(shù)的有關(guān)概念1數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線，叫做數(shù)軸實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的2相反數(shù)(1)實數(shù)a的相反數(shù)為a；(2)a與b互為相反數(shù)ab0；(3)相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點位于原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等3倒數(shù)(1)實數(shù)a的倒數(shù)是，其中a0；(2)a和b互為倒數(shù)ab1.4絕對值在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值即一個正數(shù)的絕對值等于它本身；0的絕對值是0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即|a|（二） 實數(shù)的分類1按實數(shù)的定義分類實數(shù)2按正負分類實數(shù)溫馨提示：正確理解實數(shù)的分類，特別注意是無理數(shù)，不是分數(shù)；是分數(shù)，不是無理數(shù)。（三） 科學記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字1科學記數(shù)法把一個數(shù)N表示成a×10n(1|a|10，n是整數(shù))的形式叫科學記數(shù)法當|N|1時，n等于原數(shù)N的整數(shù)位數(shù)減1；當|N|1且N0時，n是一個負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)(含整數(shù)位上的零)2近似數(shù)與有效數(shù)字一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位，這時從左邊第一個不為0的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字三、【中考典例精析】類型一 實數(shù)的有關(guān)概念(1)5的倒數(shù)是()A5 B. C5 D(2)5的相反數(shù)是()A5 B5 C. D(3)的絕對值是()A4 B C. D4(4)下列實數(shù)中，是無理數(shù)的為()A3.14 B. C. D.【點撥】解決此類題的關(guān)鍵是準確掌握實數(shù)的有關(guān)概念【答案】(1)D(2)A(3)C(4)C 類型二 科學記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字 (1)2010年6月5日上海世博園入園參觀人數(shù)約為470 000人，將這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為4.7×10n，那么n的值為()A3 B4 C5 D6(2)據(jù)統(tǒng)計，2010年一季度，浙江城鎮(zhèn)居民人均可支配收入6 631.67元，那么這個數(shù)的有效數(shù)字的個數(shù)是()A2 B4 C5 D6(3)橫跨深圳及香港之間的深圳灣大橋(Shenzhen Bay Bridge)是中國唯一傾斜的獨塔單索面橋，大橋全長4 770米，這個數(shù)字用科學記數(shù)法表示為(保留兩個有效數(shù)字)()A47×102 B4.7×103 C4.8×103 D5.0×103(4)2008北京奧運會火炬?zhèn)鬟f的路程約為13.7萬公里近似數(shù)13.7萬是精確到()A十分位 B十萬位 C萬位 D千位【點撥】用科學記數(shù)法表示的數(shù)必須滿足a×10n(1|a|10，n為整數(shù))的形式；求近似數(shù)時注意看清題目要求和單位的換算；查有效數(shù)字時，要從左邊第1個非零數(shù)查起，到精確到的數(shù)為止【答案】(1)C(2)D(3)C(4)D四、【易錯題探究】1把61萬用科學記數(shù)法可表示為()A6.1×104 B6.1×105 C6.0×105 D61×104【解析】61萬61×1046.1×105，故選B.【易錯警示】科學記數(shù)法a×10n中，要注意a的取值范圍；審題時不仔細，容易漏掉61后面的單位2由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8×103，下列說法中正確的是()A精確到十分位，有2個有效數(shù)字B精確到個位，有2個有效數(shù)字C精確到百位，有2個有效數(shù)字D精確到千位，有4個有效數(shù)字【解析】理解近似數(shù)的概念是關(guān)鍵，8.8×1038 800,8.8×103中，第二個8在百位，所以精確到百位，8.8中有兩個有效數(shù)字，故選C.【易錯警示】用科學記數(shù)法a×10n(1|a|<10，n為整數(shù))表示的數(shù)，精確度看a中最后一位在原數(shù)中的位置；有效數(shù)字只看a中所有數(shù)字的個數(shù)五、【課堂基礎(chǔ)檢測】1下列各數(shù)中，相反數(shù)等于5的數(shù)是()A5 B5 C D.答案：A26的絕對值是()A6 B6 C D答案：A3在實數(shù)5、 中，無理數(shù)是()A5 B. C D.答案：C4如果10%表示“增加10%”，那么“減少8%”可以記作()A18% B8% C2% D8%答案：B52010年一季度，全國城鎮(zhèn)新增就業(yè)人數(shù)為289萬人，用科學記數(shù)法表示289萬正確的是()A2.89×107 B2.89×106 C2.89×105 D2.89×104答案：B6若|m3|(n2)20，則m2n的值為()A4 B1 C0 D4答案：B7作為歷史上第一個正式提出“低碳世博”理念的世博會，上海世博會從一開始就確定以“低碳、和諧、可持續(xù)發(fā)展的城市”為主題如今在世博場館和周邊共運行著一千多輛新能源汽車，為目前世界上規(guī)模最大的新能源汽車示范運行，預計將減少溫室氣體排放約28 400噸將28 400噸用科學記數(shù)法表示為()A0.284×105噸 B2.84×104噸 C28.4×103噸 D284×102噸答案：B六、【課后達標練習】一、選擇題1的相反數(shù)是()A. B C2 D2解析：因()，故選A.答案：A2的倒數(shù)是()A3 B C. D3解析：因3，故選A.答案：A3|的值是()A3 B3 C. D解析：因|，故選C.答案：C4在1、0、1、2這四個數(shù)中，既不是正數(shù)也不是負數(shù)的是()A1 B0 C1 D2解析：由0既不是正數(shù)也不是負數(shù)知，選B.答案：B5數(shù)軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數(shù)為()A6或6 B6 C6 D3或3解析：由絕對值的意義知，|±6|6，故選A.答案：A6某市2009年實現(xiàn)生產(chǎn)總值(GDP)1 545.35億元，用科學記數(shù)法表示應是(結(jié)果保留3個有效數(shù)字)()A1.54×108元 B1.545×1011元 C1.55×1010元 D1.55×1011元解析：因1 545.35億元1 545.35×108元1.545 35×1011元1.55×1011元，故選D.答案：D7汽車向東行駛5千米記作5千米，那么汽車向西行駛5千米記做()A5千米 B5千米 C10千米 D0千米解析：因向東5千米記做5千米，所以向西5千米記做5千米，故選B.答案：B8如果ab0，那么a、b兩個實數(shù)一定是()A都等于0 B一正一負 C互為相反數(shù) D互為倒數(shù)解析：因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，故選C.答案：C9甲型H1N1流感病毒的直徑大約是0.000 000 081米，用科學記數(shù)法可表示為()A8.1×109米 B8.1×108米 C81×109米 D0.81×107米解析：因為0.000 000 0818.1×108，故選B.答案：B10古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和下列等式中，符合這一規(guī)律的是()A13310 B25916 C361521 D491831解析：由前三個圖的規(guī)律類推可得361521，故選C.答案：C二、填空題11在數(shù)軸上表示 的點到原點的距離為_解析：因為|.答案：12上海世博會預計約有69 000 000人次參觀，69 000 000用科學記數(shù)法表示為 _.解析：因為69 000 0006.9×107.答案：6.9×10713有一組數(shù)列：2，3,2，3,2，3,2，3，根據(jù)這個規(guī)律，那么第2 011個數(shù)是_解析：因2和3循環(huán)，第奇數(shù)個為2，所以第2 011個數(shù)為2.答案：214地球與太陽之間的距離約為149 600 000千米，用科學記數(shù)法表示(保留2個有效數(shù)字)約為_千米解析：答案：1.5×108因為149 600 0001.496×1081.5×108. 15將自然數(shù)按以下規(guī)律排列，則2 008所在的位置是第_行第_列第一列第二列第三列第四列第一行1 2 9 10第二行4 3 8 11第三行5 6 7 12第四行 16151413第五行17解析：由產(chǎn)生前四行的規(guī)律類推可得第2 008所在位置為第18行第45列答案：1845三、解答題16如圖，點A、B在數(shù)軸上，它們所對應的數(shù)分別是3和，且點A、B到原點的距離相等，求x的值答案：解：點A、B到原點的距離相等，30，解得x，經(jīng)檢驗x是原方程的解即：x的值為.第2講實數(shù)的運算及大小比較一、【三年中考】1(2010·溫州)給出四個數(shù)0，0.3，其中最小的是()A0 B. C D0.3解析：因為正數(shù)>0>負數(shù)，所以最小，故選C.答案：C2(2010·金華)如圖，若A是實數(shù)a在數(shù)軸上所對應的點，則關(guān)于a，a,1的大小關(guān)系表示正確的是()Aa<1<a Ba<a<1 C1<a<a Da<a<1解析：在數(shù)軸上可表示出a的位置可得a<1<a.故選A.答案：A3(2010·義烏)28 cm接近于()A珠穆朗瑪峰的高度 B三層樓的高度 C姚明的身高 D一張紙的厚度解析：因28 cm256 cm，所以選C.答案：C4(2009·麗水)在下面四個數(shù)中，比0小的數(shù)是()A0.5 B2 C1 D3解析：因為負數(shù)<0，故選B.答案：B5(2009·嘉興)實數(shù)x，y在數(shù)軸上的位置如圖所示，則()Ax>y>0 By>x>0 Cx<y<0 Dy<x<0解析：因為數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊總比左邊大，所以y>x>0.故選B.答案：B6(2008·紹興)下列計算結(jié)果等于1的是()A(2)(2) B(2)(2) C2×(2 ) D(2)÷(2)解析：A中(2)(2)4，B中(2)(2)0，C中2×(2)4.D中(2)÷(2)1，故選D.答案：D7(2010·嘉興)比較大小：2_.(填“>”，“<”或“”)解析：因為22.828，3.141 59，所以2<.答案：<8(2009·衢州)計算：(1)0_.解析：因為a0(a0)1，所以(1)01.答案：19(2009·紹興)計算：()1(1)04sin60°.解：原式2214×22121.二、【考點知識梳理】（一） 實數(shù)的運算1實數(shù)的運算種類有：加法、減法、乘法、除法、乘方、開方六種，其中減法轉(zhuǎn)化為加法運算，除法、乘方都轉(zhuǎn)化為乘法運算2在實數(shù)范圍內(nèi)運算順序是：先算乘方(或開方)，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的同一級運算，從左到右依次進行（二） 零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪若a0，則a01；若a0，n為正整數(shù)，則an.(三)實數(shù)的大小比較1在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.2設(shè)a、b是任意兩個數(shù)，若ab0，則a > b；若ab0，則ab；若ab0，則a < b.3實數(shù)大小比較的特殊方法平方法：由32，則 > ；商比較法：已知a0、b0，若1，則a > b；若1，則ab；若1，則a < b.近似估算法；中間值法4n個非負數(shù)的和為0，則這n個非負數(shù)同時為0.例如：若|a|b20，則abc0.溫馨提示：1. 注意零指數(shù)、負整指數(shù)的意義，遇到絕對值一般要先去掉絕對值符號再進行計算，關(guān)鍵是把好符號關(guān)。2. 三個重要的非負數(shù)3.當兩個無理數(shù)比較大小時，可用計算器求出其近視值，再比較。三、【中考典例精析】類型一 實數(shù)的大小比較(1)在3，1,0這四個實數(shù)中，最大的是()A3 B C1 D0(2)下面四個數(shù)中比2小的數(shù)是()A1 B0 C1 D3(3)若0<x<1，則x1、x、x2的大小關(guān)系是()Ax1<x<x2 Bx<x2<x1 Cx2<x<x1 Dx2<x1<x(4)如圖，若A是實數(shù)a在數(shù)軸上對應的點，則關(guān)于a、a、1的大小關(guān)系表示正確的是()Aa<1<a Ba<a<1 C1<a<a Da<a<1【點撥】本題主要考查數(shù)軸上所表示的數(shù)，原點左邊的點表示的數(shù)為負數(shù)，右邊的點表示的數(shù)為正數(shù)，正數(shù)大于零，負數(shù)小于零；數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大【答案】(1)D(2)D(3)C(4)A類型二 零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪(1)下列計算正確的是()A300 B|3|3 C313 D.±3(2)計算：32_.(3)計算：()021_.(4)計算：21·tan30°(2 010)0【點撥】本題主要考查a01(a0)，an(a0，n為正整數(shù))【答案】(1)B(2)(3) (4)原式×1類型三 實數(shù)的運算(1)某年哈爾濱市一月份的平均氣溫為18 ，三月份的平均氣溫為2 ，則三月份的平均氣溫比一月份的平均氣溫高()A16 B20 C16 D20 (2)下列運算結(jié)果等于1的是()A(3)(3) B(3)(3) C3×(3 ) D(3)÷(3)(3)計算：(3)2|21.(4)計算：(3.14)0()1|1|.【點撥】實數(shù)的運算一定要把握好運算種類和運算順序【答案】(1)B(2)D(3)解：原式936.(4)解：原式13(2)(1)13212.方法總結(jié)：實數(shù)運算的一般步驟：（1）觀察運算的總類；（2）確定運算的順序；（3）把握每步運算法則和符號；（4）靈活運用運算律四、【易錯題探究】1在1，2，0，這五個數(shù)中最小的數(shù)是_【解析】明確實數(shù)大小比較的方法數(shù)形(畫數(shù)軸)結(jié)合法正數(shù)>0>負數(shù)，數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大所以最小的數(shù)是2.【易錯警示】比較2與的大小注意：兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小2計算：|2|2sin30°()2(tan45°)1.【解析】原式22×31121311.【易錯警示】()23，(tan45°)1111.五、【課堂基礎(chǔ)檢測】1計算：(1)2(1)3_.()A2 B1 C0 D2答案：C2如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是()Aab>0 Bab>0 Cab>0 D|a|b|>0答案：D3計算26的結(jié)果是()A8 B8 C4 D4答案：A4將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上(數(shù)軸的單位長度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分別對應數(shù)軸上的3.6和x，則()A9<x<10 B10<x<11 C11<x<12 D12<x<13答案：C5計算：|2|()0.解：原式2213.6計算： ()1sin45°(2)0.解：原式32×132111.7計算：(3.14)0|3|()1(1)2 010.解：原式13211.六、【課后達標練習】一、選擇題1下列各數(shù)中，最大的數(shù)是()A2 B0 C. D3解析：因為正數(shù)>0>負數(shù)，所以3最大，故選D.答案：D2計算3×(2)的結(jié)果是()A5 B5 C6 D6解析：因為3×(2)6，故選D.答案：D3下列計算正確的是()A(1)10 B(3)26 C 01 D(2)6÷(2)3(2)2解析：A項(1)11，A錯誤；B項(3)29，B錯誤；D項應為8，D錯誤，故選C.答案：C42(2)的值是()A4 B C0 D4解析：因為2(2)0，故選C.答案：C52的3倍是()A6 B1 C6 D5解析：因為2×36，故選A.答案：A6下列命題中，正確的是()A若a·b>0，則a>0，b>0B若a·b<0，則a<0，b<0C若a·b0，則a0，且b0D若a·b0，則a0，或b0解析：因為幾個數(shù)的積為0，這幾個數(shù)都有可能為0，故選D.答案：D7比較2、的大小，正確的是()A2<< B2<< C.< 2< D.<<2解析：因2.236，1.913，所以<2<.故選C.答案：C8下列計算中，正確的個數(shù)是()0(5)5； (4)(8)12；×()； (36)÷(9)4.A1個 B2個 C3個 D4個解析：因、正確，故選B.答案：B9如果a的倒數(shù)是1，那么a2 011等于()A1 B1 C2 011 D2 011解析：由a的倒是1，得a1，所以(1)2 0111.故選B.答案：B二、填空題10計算：32_；(3)×2_.解析：321，3×26.答案：1611比較大?。篲3.(填寫“<”或“>”)解析：2.646<3.答案：<12|2|_，(2)_，(a3)4_.解析：|2|2，(2)2，(a3)4a12.答案：22a1213計算()021_.解析：()0211.答案：14若將三個數(shù)、表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是_解析：因為2<2.646<3.答案：三、計算題15計算：(3)2|1|()1.解：原式91210.16計算：|2|(2)0()2.解：原式 212145.17計算：|4|(3)2÷2 0100.解：原式49×31427124.18計算：()1|3|2 0100()2.解：原式4312826. 19計算：(1)0()1|2|2sin45°.解：原式13(2)2×224.20計算：()1(2)0(2)2·.解：原式31342.精銳教育網(wǎng)站：www.1smart.org - 16 - 精銳教育· 考試研究院