2017新浙教版九年級上冊知識點

九年級上冊第1章 二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 3. 常數(shù)項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：第2章 簡單事件的概率一、可能性1、必然事件：有些事件我們能確定它一定會發(fā)生，這些事件稱為必然事件2、不可能事件：有些事件我們能肯定它一定不會發(fā)生，這些事件稱為不可能事件3、確定事件：必然事件和不可能事件都是確定的。4、不確定事件：有很多事件我們無法肯定它會不會發(fā)生，這些事件稱為不確定事件。5、一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。 二、簡單事件的概率1、概率的意義：表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù)叫做該事件的概率。2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1，不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P(不可能事件）=0，如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1。3、一步試驗事件發(fā)生的概率的計算公式： （n為該事件所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，k為事件包含的結(jié)果數(shù)）。兩步試驗事件發(fā)生的概率的計算有兩種方法（列表法和畫樹狀圖）三、用頻率估計概率：1.對于任何一個隨機事件都有一個固定的概率客觀存在。2.有些隨機事件不可能用樹狀圖和列表法求其發(fā)生的概率，只能通過試驗、統(tǒng)計的方法估計其發(fā)生的概率。3.對隨機事件做大量試驗時，根據(jù)重復試驗的特征，我們確定概率時應當注意幾點:（1）做實驗時應當在相同條件下進行；（2）實驗的次數(shù)要足夠多，不能太少； （3）把每一次實驗的結(jié)果準確，實時的做好記錄；（4）分階段分別從第一次起計算事件發(fā)生的頻率，并把這些頻率用折線統(tǒng)計圖直觀的表示出來；觀察分析統(tǒng)計圖，找出頻率變化的逐漸穩(wěn)定值，并用這個穩(wěn)定值估計事件發(fā)生的概率，這種估計概率的方法的優(yōu)點是直觀，缺點是估計值必須在實驗后才能得到，無法事件預測。注意：事件發(fā)生的概率是一個確定的值，而頻率是不確定的。當實驗次數(shù)增大時，頻率的大小波動變小，逐漸穩(wěn)定在概率附近，此時它會非常接近概率，但不一定相等。四、概率綜合運用：概率可以和很多知識綜合命題，主要涉及平面圖形、統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、函數(shù)等。 常見考法（1）判斷游戲公平：游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。這類問題有兩類一類是計算游戲雙方的獲勝理論概率，另一類是計算游戲雙方的理論得分；（2）命題者經(jīng)常以摸球、拋硬幣、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤、抽撲克這些既熟悉又感興趣的事為載體，設計問題。進行摸球、抽卡片等實驗時，沒有注意“有序”還是“無序”、“有放回”還是“無放回”故造成求解錯誤。第3章 圓的基本性質(zhì)【本章知識框架】圓 基本元素：圓的定義，圓心，半徑，弧，弦，弦心距的 垂徑定理認 對稱性：旋轉(zhuǎn)不變性，軸對稱，中心對稱（強）識 圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系 與圓有關(guān)的角：圓心角，圓周角 弧長，扇形的面積，弓形的面積，及組合的幾何圖形圓中的有關(guān)計算： 圓錐的側(cè)面積、全面積一、圓的概念1、圓的定義：線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓點O叫做圓心，線段OP叫做半徑。2、弧：圓上任意兩點間部分叫做圓弧，簡稱弧。優(yōu)弧、劣弧以及表示方法。3、弦，弦心距，圓心角，圓周角，4、判定一個點P是否在O上設O的半徑為R，OPd，則有：d>r 點P在O 外；dr 點P在O 上；d<r 點P在O 內(nèi)。5、三角形的外接圓，外心三角形的外心：是三角形三邊垂直平分線的交點，它是三角形外接圓的圓心。知識點：銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部。三角形外心到三角形三個頂點的距離相等。相關(guān)知識：三角形重心，是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部。二、圓的性質(zhì)1、旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心性質(zhì)：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量也分別相等。3、軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理的推論 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧在同圓或等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等即：是直徑 弧弧 弧弧中，任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在中， 弧弧4、與圓有關(guān)的角 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。 圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的性質(zhì)： 圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等 90的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角三、弧、扇形、圓錐側(cè)面的計算 圓的面積:，周長: 圓心角為n，半徑為R的弧長 圓心角為n，半徑為R，弧長為l的扇形的面積 或 .知識點：弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算。 圓錐的側(cè)面展開圖為扇形。底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為，全面積為 ，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有。四、作圖平分已知??；作三角形的外接圓。五、輔助線圓中常見的輔助線1作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等；2作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算；3作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算；4作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角；5作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角直角；6遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點。第4章 相似三角形知識點1 相似圖形形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形. 知識點2 比例線段的相關(guān)概念如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗勺⒁猓涸谇缶€段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段注意：(1)當兩個比例式的每一項都對應相同，兩個比例式才是同一比例式(2)比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應得比例式為：知識點3 比例的性質(zhì) 基本性質(zhì)：(1)；(2)注意：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)：合比性質(zhì)：注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：等等 等比性質(zhì)：如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運用了“設法” ，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法(2)應用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立如：；其中知識點4 比例線段的有關(guān)定理平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例推論：(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形第三邊知識點5 黃金分割把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中0.618知識點6 相似三角形的概念對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對應角相等，對應邊成比例注意：對應性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊順序性：相似三角形的相似比是有順序的兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣全等三角形是相似比為1的相似三角形二者的區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例知識點7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形：用數(shù)學語言表述是：，知識點8 相似三角形的等價關(guān)系(1)反身性：對于任一有 (2)對稱性：若，則 (3)傳遞性：若，且，則知識點9 三角形相似的判定方法1、定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式 如圖，RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD）2=BDDC，（2）（AB）2=BDBC ，（3）（AC）2=CDBC 。證明：在 BAD與ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BADACD相似， AD/BDCD/AD，即（AD）2=BDDC。其余類似可證。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BDBC+CDBC =（BD+CD)BC=（BC）2，即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。這就是勾股定理的結(jié)論。知識點10 相似三角形性質(zhì)(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方(5)相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等知識點11 相似三角形常見的圖形 （1）若DEBC（A型和X型）則ADEABC （2）射影定理 若CD為RtABC斜邊上的高（雙直角圖形） 則RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB； （3）滿足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）當或ADAB=ACAE時，ADEACB （3） （4）12