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1、專題四專題四規(guī)律探索題規(guī)律探索題命題預測方法指導規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題,是指根據已知條件或題干所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納,發(fā)現(xiàn)問題中的數學對象所具有的規(guī)律性的一類問題.規(guī)律探索型問題體現(xiàn)了“由特殊到一般”的數學思想方法,規(guī)律探索型問題大致可分為數式類規(guī)律探索問題、圖形類規(guī)律探索問題和直角坐標系下的點坐標變化規(guī)律類,是中考的熱點題型,考查同學們創(chuàng)新能力的重要方式.考查的題型既有選擇題、填空題,也有解答題,安徽中考連續(xù)6年都有考查,預計這類題仍然是2018年中考的熱點.命題預測方法指導解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細致的觀察、分析、比較,從中發(fā)現(xiàn)其變
2、化的規(guī)律,并猜想出一般性的結論,然后再給出合理的證明或加以運用.1.解決這類問題的關鍵是發(fā)現(xiàn)和把握規(guī)律.題目中呈現(xiàn)規(guī)律一般有三種主要途徑:(1)式與數的特征觀察.(2)圖形的結構觀察.(3)通過對簡單、特殊情況的觀察,再推廣到一般情況.2.規(guī)律探究的基本原則:(1)遵循類推原則,項找項的規(guī)律,和找和的規(guī)律,差找差的規(guī)律,積找積的規(guī)律.(2)遵循有序原則,從特殊開始,從簡單開始,先找3個,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再驗證運用規(guī)律.類型一類型二類型一類型二類型一數式的變化規(guī)律例1(2017安徽,19)【閱讀理解】我們知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2結果等于多少呢?在圖1所示的三角形數陣中,第1
3、行圓圈中的數為1,即12;第2行兩個圓圈中數的和為2+2,即22;第n行n個圓圈中數的和為類型一類型二【規(guī)律探究】將三角形數陣型經過兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣型,觀察這三個三角形數陣各行同一位置圓圈中的數(如第n-1行的第1個圓圈中的數分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數的和均為.由此可得,這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=.【解決問題】 類型一類型二分析:【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數相加即可,所有圈中的數的和應等于同一位置圓圈中的數的和乘以圓圈個數,據此可得,每個三角形數陣和即為三個三角形數陣和的 ,從
4、而得出答案;【解決問題】運用以上結論,將原式變形為類型一類型二解:【規(guī)律探究】由題意知,每個位置上三個圓圈中數的和均為n-1+2+n=2n+1,由此可得,這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為:3(12+22+32+n2)【解決問題】 類型一類型二例2(2014安徽,16)觀察下列關于自然數的等式:32-412=5;52-422=9;72-432=13;根據上述規(guī)律解決下列問題:(1)完成第四個等式:92-42=;(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并驗證其正確性.分析:通過觀察變化的數字與序號的關系,得出第四個等式:92-442=17;通過歸納總結可得出第n個等式為(2n+1)2
5、-4n2=2(2n+1)-1并證明.類型一類型二解:(1)417(2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.證明如下:左邊=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右邊=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1.左邊=右邊,故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.類型一類型二類型二圖形的變化規(guī)律例3(2016安徽,18)(1)觀察下列圖形與等式的關系,并填空:類型一類型二(2)觀察下圖,根據(1)中結論,計算圖中黑球的個數,用含n的代數式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分析:(1)根據1+3+5+7=16可得出16=42
6、;設第n幅圖中球的個數為an,列出部分an的值,根據數據的變化找出變化規(guī)律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此規(guī)律即可解決問題;(2)觀察(1)可將(2)圖中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再結合(1)的規(guī)律即可得出結論.類型一類型二解析:(1)1+3+5+7=16=42,設第n幅圖中球的個數為an,觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.(2)觀察圖形發(fā)現(xiàn):圖中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)
7、-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1類型一類型二例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)個小正方形組成的矩形網格中,研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數f,(1)當m,n互質(m,n除1外無其他公因數)時,觀察下列圖形并完成下表:類型一類型二猜想:當m,n互質時,在mn的矩形網格中,一條對角線所穿過的小正方形的個數f與m,n的關系式是(不需要證明);(2)當m,n不互質時,請畫圖驗證你猜想的關系式是否依然成
8、立.分析:(1)通過題中所給網格圖形,先計算出25,34,對角線所穿過的小正方形個數f,再對照表中數值歸納f與m,n的關系式.(2)根據題意,畫出當m,n不互質時,結論不成立的反例即可.類型一類型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)當m,n不互質時,上述結論不成立,如圖.123456781.(2017重慶)下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的,其中第個圖形中一共有3個菱形,第個圖形中一共有7個菱形,第個圖形中一共有13個菱形,按此規(guī)律排列下去,第個圖形中菱形的個數為(C)A.73B.81C.91 D.10912345678解析: 整個圖形可以看作是由兩部分組成:上半部分是菱形,下
9、半部分是由菱形組成的一條線段,各自的變化規(guī)律我們可以用一個表格來呈現(xiàn):由此,不難推斷出這組圖形中菱形個數的變化規(guī)律為:n2+n+1,當n=9時,有n2+n+1=92+9+1=91,第個圖形中菱形的個數為91.123456782.(2017浙江溫州)我們把1,1,2,3,5,8,13,21這組數稱為斐波那契數列.為了進一步研究,依次以這列數為半徑作90圓弧P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋線,然后順次連接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折線(如圖),已知點P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),則該折線上點P9的坐標為(B)A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-
10、5,24)D.(-5,25)解析: 找準圖形規(guī)律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).123456783.(2017湖北武漢)按照一定規(guī)律排列的n個數:-2,4,-8,16,-32,64,若最后三個數的和為768,則n為(B)A.9B.10C.11 D.12解析: 根據數的規(guī)律,第n個數為(-2)n,故有最后三個數的和為(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768,(-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故選B.123456784.(2016湖北黃石)觀察下列等式: 按上述規(guī)律,回答以下
11、問題:12345678123456785.(2017湖南衡陽)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如圖的方式放置,點A1,A2,A3,和點C1,C2,C3,分別在直線y=x+1和x軸上,則點B2 018的縱坐標是22 017.解析: 由圖知,點B1的坐標為(1,1);點A2的坐標為(1,2);點B2的坐標為(3,2);點A3的坐標為(3,4);點B3的坐標為(7,4);A4的坐標為(7,8),尋找規(guī)律知B2 018的縱坐標為22 017,故填22 017.123456786.(2017山東淄博)設ABC的面積為1.如圖1,分別將AC,BC邊2等分,D1,E1是其分點,連
12、接AE1,BD1交于點F1,得到四邊形CD1F1E1,其面積S1= ;如圖2,分別將AC,BC邊3等分,D1,D2,E1,E2是其分點,連接AE2,BD2交于點F2,得到四邊形CD2F2E2,其面積S2= ;如圖3,分別將AC,BC邊4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分點,連接AE3,BD3交于點F3,得到四邊形CD3F3E3,其面積S3= ;按照這個規(guī)律進行下去,若分別將AC,BC邊(n+1)等分,得到四邊形CDnFnEn,其面積Sn= .1234567812345678律解決下列問題:(1)直接寫出第四個等式;(2)猜想第n個等式(用n的代數式表示),并證明你猜想的等式是正確的.123456788.(2017四川內江)觀察下列等式: 按上述規(guī)律,回答下列問題:(1)請寫出第六個等式:a6=;(2)用含n的代數式表示第n個等式:an=;(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6=(得出最簡結果);(4)計算:a1+a2+an.12345678
數學總4 規(guī)律探索題
