2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓 1 第三課時(shí) 直角三角形的射影定理學(xué)案 北師大版選修4-1

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓 1 第三課時(shí) 直角三角形的射影定理學(xué)案 北師大版選修4-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓 1 第三課時(shí) 直角三角形的射影定理學(xué)案 北師大版選修4-1（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三課時(shí)　直角三角形的射影定理 [對應(yīng)學(xué)生用書P9] 射影定理 射影定理 文字語言 直角三角形的每一條直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)． 符號語言 在Rt△ABC中AC⊥CB，CD⊥AB于D，則AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝BD·AD. 圖形語言 如圖所示 在直角三角形中，勾股定理與射影定理有什么聯(lián)系？ 提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高．應(yīng)用射影定理可以得到AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝(AD＋BD)·AB＝AB2.可見利用射影定理證明勾股定理

2、比用面積割補(bǔ)的方法證明更簡潔． [對應(yīng)學(xué)生用書P9] 利用射影定理解決計(jì)算問題 [例1]　如圖，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的長． [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查利用射影定理計(jì)算直角三角形中的有關(guān)線段長問題．解此題時(shí)要先判斷△ABC為直角三角形，進(jìn)一步由射影定理求CD. [精解詳析]　在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，滿足AB2＝AD2＋BD2， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， ∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°， ∴在Rt△ABC中，AD⊥BC.

3、 由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD， ∴CD＝. 利用射影定理時(shí)注意結(jié)合圖形．同時(shí)可添加垂線創(chuàng)設(shè)更多的直角三角形，以利用射影定理與勾股定理解決計(jì)算問題． 1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD是斜邊上的高，AC＝5，BC＝8，求S△CDA∶S△CDB. 解：∵△CDA和△CDB同高， ∴＝.又AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB， ∴＝＝. ∴＝＝＝. 2.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE是Rt△BCD斜邊BC上的高，若BE＝6，CE＝2. 求AD的長是多少． 解：因?yàn)樵赗t△BCD中，DE⊥BC，所以由射影

4、定理可得：CD2＝CE·BC， 所以CD2＝16， 因?yàn)锽D2＝BE·BC， 所以BD＝＝4 . 因?yàn)樵赗t△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB， 所以由射影定理可得：CD2＝AD·BD， 所以AD＝＝＝. 利用射影定理解決證明問題 [例2]　如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E. 求證：(1)AB·AC＝AD·BC； (2)AD3＝BC·BE·CF. [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查利用射影定理證明等積問題，解答此題時(shí)分別在三個(gè)直角三角形中應(yīng)用射影定理，再將線段進(jìn)行代換，即可證明等積問題． [精解詳析]　(

5、1)在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD， ∴AB·AC＝AD·BC. (2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC. ∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC. ∴AD4＝BD2·DC2，∴AD4＝BE·CF·AB·AC. ∴AD3＝BE·CF·AB·AC·. 又AB·AC＝BC·AD， ∴AD3＝BE·CF·BC. 在同一問題中需多次應(yīng)用射影定理時(shí)，一定要結(jié)合圖形，根據(jù)要證的結(jié)論，選擇好射影定理的表達(dá)式．同時(shí)，注意線段的等量代換及比例

6、式可化為乘積式的恒等變形． 3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F. 求證：EF∶DF＝BC∶AC. 證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， 由射影定理知AC2＝CD·BC， 即＝. ∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF. ∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴EF∥AD. ∴＝. ∴＝. ∴＝， 即EF∶DF＝BC∶AC. 4．如圖，AD，BE是△ABC的兩條高，DF⊥AB，垂足為F，直線FD交BE于點(diǎn)G，交AC的延長線于H. 求證：DF2＝GF·HF. 證明：在△AF

7、H與△GFB中， 因?yàn)椤螲＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°， 所以∠H＝∠GBF. 因?yàn)椤螦FH＝∠GFB＝90°， 所以△AFH∽△GFB. 所以＝， 所以AF·BF＝GF·HF. 因?yàn)樵赗t△ABD中，F(xiàn)D⊥AB， 所以DF2＝AF·BF， 所以DF2＝GF·HF. 本課時(shí)主要考查利用射影定理求線段長與證明問題，屬中低檔題． [考題印證] 如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，已知AD＝2，CB＝4 ，則CD＝ . [命題立意] 本題主要考查利用射影定理計(jì)算線段長問題． [自主嘗試]　由射影

8、定理知CD2＝AD·BD， BC2＝BD·AB ∴BC2＝(AB－AD)·AB. 即AB2－2AB－48＝0. ∴AB＝8，∴BD＝6，故CD2＝2×6＝12， ∴CD＝2. 答案：2 [對應(yīng)學(xué)生用書P11] 一、選擇題 1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若＝，則＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選C　由射影定理知，BD＝，CD＝， 所以＝＝2 又＝，所以＝. 2．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2

9、 B．9∶4 C．∶ D．∶ 解析：選C　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， 又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋ BD＝5. ∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶. 3．在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列不能確定△ABC為直角三角形的是(　　) A．AC＝2，AB＝2，CD＝ B．AC＝3，AD＝2，BD＝2 C．AC＝3，BC＝4，CD＝ D．AB＝7，BD＝4，CD＝2 解析：選B　在A中，AD＝，AC2＝AD·AB，故△ABC為直角三角形；在

10、B中，CD＝，CD2＝5≠AD·DB＝4，故△ABC不是直角三角形，同理可證C，D中三角形為直角三角形． 4．在△ABC中，AD是高，且AD2＝BD·DC，則∠BAC(　　) A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能確定 圖1 解析：選D　如圖(1)， 由AD2＝BD·CD， 有AB2＋AC2＝BD2＋CD2＋2AD2＝BD2＋CD2＋2BD·CD＝(BD＋CD)2， 圖2 即AB2＋AC2＝BC2， 可得∠BAC＝90°， 如圖(2)，顯然AD2＝BD·CD，D點(diǎn)在△ABC外， 則∠ACB>90°， 所以△ABC是直角或鈍

11、角三角形． 二、填空題 5.如圖所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，點(diǎn)C在AB上的正射影為D，且AC＝3，AD＝2，則AB＝ . 解析：∵AC⊥BC，又D是C在AB上的正射影， ∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB. 又AC＝3，AD＝2，∴AB＝＝. 答案： 6.(湖北高考)如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則的值為 ． 解析：連接AC，BC，則AC⊥BC. ；∵AB＝3AD，∴AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB. 又AB是圓O的直徑，OC是圓O的半徑， ∴OC＝AB. 在△ABC中，根據(jù)射影

12、定理有： CD2＝AD·BD＝AB2. 在△OCD中，根據(jù)射影定理有：OD2＝OE·OC， CD2＝CE·OC，可得OE＝AB，CE＝AB，∴＝8. 答案：8 7．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD＝ . 解析：如圖，由射影定理得： CD2＝AD·BD， 又∵BD∶AD＝1∶4，設(shè)BD＝x，則AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x. 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝. 答案： 8.如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1

13、，則AC＝ . 解析：；在△ABC中，設(shè)AC＝x，因?yàn)锳B⊥AC，AF⊥BC，F(xiàn)C＝1，根據(jù)射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即AF2＝x2－1.所以AF＝. 在△BDC中，過D作DE⊥BC于E， 因?yàn)锽D＝DC＝1，所以BE＝EC. 又因?yàn)锳F⊥BC，所以DE∥AF， 所以＝，所以DE＝＝. 在Rt△DEC中，因?yàn)镈E2＋EC2＝DC2， 即2＋2＝12， 所以＋＝1. 整理得x6＝4.所以x＝. 所以AC＝. 答案： 三、解答題 9．如圖所示，在△ABC中CD⊥AB，B

14、D＝AB－AC，求∠BAC. 解：因?yàn)锽D＝AB－AC，所以AB－BD＝AC＝AD.因?yàn)镃D⊥AB，所以∠CDA＝90°，在Rt△ADC中， cos∠CAD＝＝＝. ∴∠BAC＝60°. 10.如圖，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于點(diǎn)D.求BD，CD的長． 解：設(shè)∠BAC的度數(shù)為x，則由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，得∠ABC的度數(shù)為2x，∠ACB的度數(shù)為3x.因?yàn)椤螧AC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. 所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. 因?yàn)锳B＝m，所以BC＝m，

15、 又因?yàn)镃D⊥AB，所以BC2＝BD·AB， 即2＝BD·m，所以BD＝m. AD＝AB－BD＝m－m＝m. 由CD2＝AD·BD＝m·m＝m2， 得CD＝m.因此，BD的長是m，CD的長是m. 11．如圖，已知BD，CE是△ABC的兩條高，過點(diǎn)D的直線交BC和BA的延長線于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCF. 求證：GD2＝GF·GH. 證明：因?yàn)椤螲＝∠BCF，∠EBC＝∠GBH， 所以△BCE∽∠BHG， 因?yàn)镃E⊥BH， 所以∠BGH＝90°，所以HG⊥BC. 在Rt△BCD中，因?yàn)锽D⊥DC， 所以GD2＝GB·GC. ① 在△FCG和△BHG中， 因?yàn)椤螰GC＝∠HGB＝90°，∠BCF＝∠H， 所以△FCG∽△BHG， 所以＝， 即GB·GC＝GF·GH， ② 由①②得，GD2＝GF·GH. 9