《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5(11頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例
[核心必知]
貝努利(Bernoulli)不等式
如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.
[問題思考]
在貝努利不等式中,指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎?
提示:可以.但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化.
事實(shí)上:當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)α后,將有以下幾種情況出現(xiàn):
(1)當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足α>1或者α<0時(shí),
有(1+x)α≥1+αx(x>-1).
(2)當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足0<α<1時(shí),用(1+x)α≤1+αx(x>-11).
已知Sn=1+++…+(n>1,n∈
2、N+),
求證:S2n>1+(n≥2,n∈N+).
[精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,解答本題需要注意n的取值范圍,因?yàn)閚>1,n∈N+,因此應(yīng)驗(yàn)證n0=2時(shí)不等式成立.
(1)當(dāng)n=2時(shí),S22=1+++=>1+,
即n=2時(shí)命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí)命題成立,
即S2k=1+++…+>1+.
則當(dāng)n=k+1時(shí),
S2k+1=1+++…+++…+
>1++++…+
>1++=1++=1+.
故當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.
由(1)、(2)知,對(duì)n∈N+,n≥2,S2n>1+都成立.
利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k到n=k+
3、1的變形,為滿足題目的要求,往往要采用“放縮”等手段,例如在本題中采用了“++…+>=”的變形.
1.證明不等式:1+++…+<2(n∈N+).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即
1+++…+<2.
∵當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…++<2+=,
現(xiàn)在只需證明<2,
即證:2<2k+1,
兩邊平方,整理:0<1,顯然成立.∴<2
成立.即1+++…++<2成立.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由(1)(2)知,對(duì)于任何正整數(shù)n原不等式都成立.
設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x
4、2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.
[精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,解答本題需要先對(duì)n取特值,猜想Pn與Qn的大小關(guān)系,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.
(2)當(dāng)n≥3時(shí),(以下再對(duì)x進(jìn)行分類).
①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.
②若x=0,則Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,
所以P3
5、2+
=1+(k+1)x+x2+x3
=Qk+1+x3
6、函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù),g(x)=f-1(x),b=1,f(1)<1,證明:對(duì)任意n∈N+,an+1
7、而得f(bk+2)對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論.
[精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及探索型問題的求解方法.解答本題需要根據(jù)n的取值,猜想出a的最大值,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
當(dāng)n=1時(shí),++>,即>,
∴a<26,而a∈N+,
∴取a=25.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>.
(1)n=1時(shí),已證.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),
++…+>,
則當(dāng)n=
8、k+1時(shí),有
++…++++=
+
>+.
∵+=>,
∴+->0,
∴++…+>也成立.
由(1)、(2)可知,對(duì)一切n∈N+,都有++…+>,∴a的最大值為25.
利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是:先通過觀察、判斷,猜想出結(jié)論, 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的,特別是在求解存在型或探索型問題時(shí).
3.對(duì)于一切正整數(shù)n,先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,并再證明不等式:n(n+1)·>lg(1·2·3·…·n).
解:猜想當(dāng)t=3時(shí),對(duì)一切正整數(shù)n使3n>n2成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
9、當(dāng)n=1時(shí),31=3>1=12,命題成立.
假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),3k>k2成立,則有3k≥k2+1.
對(duì)n=k+1,3k+1=3·3k=3k+2·3k
>k2+2(k2+1)>3k2+1.
∵(3k2+1)-(k+1)2=2k2-2k=2k(k-1)≥0,∴3k+1>(k+1)2,∴對(duì)n=k+1,命題成立.由上知,當(dāng)t=3時(shí),
對(duì)一切n∈N+,命題都成立.
再用數(shù)學(xué)歸納法證明:
n(n+1)·>lg(1·2·3·…·n).
當(dāng)n=1時(shí),1·(1+1)·=>0=lg 1,命題成立.
假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),
k(k+1)·>lg(1·2·3·…·k)成
10、立.
當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)(k+2)·
=k(k+1)·+2(k+1)·
>lg(1·2·3·…·k)+lg 3k+1
>lg(1·2·3·…·k)+lg(k+1)2
=lg[1·2·3·…·k·(k+1)].命題成立.
由上可知,對(duì)一切正整數(shù)n,命題成立.
本課時(shí)考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合以解答題的形式考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.全國卷將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與直線方程相結(jié)合考查,是高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn).
[考題印證]
(大綱全國卷)函數(shù)f(x)=x2-2x-3.定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過兩點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐
11、標(biāo).
(1)證明:2≤xn<xn+1<3;
(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
[命題立意] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題,考查學(xué)生推理論證的能力.
[解] (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2≤xn<xn+1<3.
①當(dāng)n=1時(shí),x1=2,直線PQ1的方程為
y-5=(x-4),
令y=0,解得x2=,所以2≤x1<x2<3.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即2≤xk<xk+1<3.
直線PQk+1的方程為
y-5=(x-4),令y=0,解得xk+2=.
由歸納假設(shè)知
xk+2==4-<4-=3;
xk+2-xk+1=>0,即xk+1<xk+2.
所以2≤xk+1<xk+2
12、<3,即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.
由①、②知對(duì)任意的正整數(shù)n,2≤xn<xn+1<3.
(2)由(1)及題意得xn+1=.
設(shè)bn=xn-3,則=+1,
+=5,
數(shù)列是首項(xiàng)為-,公比為5的等比數(shù)列.因此+=-·5n-1,
即bn=-,
所以數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=3-.
一、選擇題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式( )
A.1+<2- B.1++<2-
C.1+<2- D.1++<2-
解析:選A n0=2時(shí),首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為.
2.如果命題P(n)對(duì)n=k成立,則它對(duì)n=
13、k+2也成立.又若P(n)對(duì)n=2成立.則下列結(jié)論正確的是( )
A.P(n)對(duì)所有n∈N+成立
B.P(n)對(duì)所有正偶數(shù)成立
C.P(n)對(duì)所有正奇數(shù)成立
D.P(n)對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立
解析:選B ∵在上面的證明方法中,n的第一個(gè)值為2,且遞推的依據(jù)是當(dāng)n=k時(shí),命題正確,則當(dāng)n=k+2時(shí),命題也正確.
∴P(n)是對(duì)所有的正偶數(shù)成立.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和S=(n-2)π對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:選B n邊形的最少邊數(shù)
14、為3,則n0=3.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“++…+>(n>2,n∈N+)”時(shí)的過程中,由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊( )
A.增加了一項(xiàng)
B.增加了兩項(xiàng),
C.增加了兩項(xiàng),,又減少了一項(xiàng)
D.增加了一項(xiàng),又減少了一項(xiàng)
解析:選C 當(dāng)n=k時(shí),左邊=++…+.
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=++…+
=++…+++.
故由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊增加了兩項(xiàng),又減少了一項(xiàng).
二、填空題
5.證明<1+++…+1),當(dāng)n=2時(shí),要證明的式子為________.
解析:當(dāng)n=2時(shí),要證明的式子為2<1+++<3.
答案:2<1+++<3
6.
15、用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n∈N+,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)時(shí),當(dāng)n=1時(shí)原式為________,從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是________.
解析:當(dāng)n=1時(shí),原式為1+2+22+23+25-1=1+2+22+23+24.
從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.
答案:1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“<”時(shí),n的最小取值n0應(yīng)為________.
解析:n0=1時(shí)不成立,n0=2時(shí),<,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,故n0=2.
答案:2
8.設(shè)a0為常數(shù)
16、,且an=3n-1-2an-1(n∈N+),若對(duì)一切n∈N+,有an>an-1,則a0的取值范圍是________.
解析:取n=1,2,則a1-a0=1-3a0>0,a2-a1=6a0>0,∴0
17、數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
解:當(dāng)n=1、n=2、n=3時(shí)都有2n+2>n2成立,
所以歸納猜想2n+2>n2成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),左邊=21+2=4;
右邊=1,左邊>右邊,所以原不等式成立;
當(dāng)n=2時(shí),左邊=22+2=6,右邊=22=4,
所以左邊>右邊;
當(dāng)n=3時(shí),左邊=23+2=10,右邊=32=9,所以左邊>右邊.
②假設(shè)n=k時(shí)(k≥3且k∈N+)時(shí),
不等式成立,即2k+2>k2.那么n=k+1時(shí)
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.
又因?yàn)?k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥
18、0,
即2k+1+2>(k+1)2成立.
根據(jù)①和②可知,2n+2>n2對(duì)于任何n∈N+都成立.
11.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,公比q=3,Sn是它的前n項(xiàng)和.求證:≤.
證明:由已知,得Sn=3n-1,
≤等價(jià)于≤,即3n≥2n+1.(*)
法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立.
①當(dāng)n=1時(shí),左邊=3,右邊=3,所以(*)成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),(*)成立,即3k≥2k+1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),
3k+1=3×3k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),(*)成立.
綜合①②,得3n≥2n+1成立.
所以≤.
法二:當(dāng)n=1時(shí),左邊=3,右邊=3,所以(*)成立.
當(dāng)n≥2時(shí),3n=(1+2)n=C+C×2+C×22+…+C×2n=1+2n+…>1+2n,
所以(*)成立.所以≤.
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