2017-2018版高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的前n項和(二)學案 北師大版必修5

2.2等差數(shù)列的前n項和(二)學習目標1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.會解等差數(shù)列前n項和的最值問題.3.理解an與Sn的關系，能根據(jù)Sn求an.知識點一數(shù)列中an與Sn的關系思考已知數(shù)列an的前n項和Snn2，怎樣求a1，an?梳理對任意數(shù)列an，Sn與an的關系可以表示為an知識點二等差數(shù)列前n項和的最值思考我們已經(jīng)知道，當公差d0時，等差數(shù)列前n項和是關于n的二次函數(shù)Snn2(a1)n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？梳理等差數(shù)列前n項和的最值與Sn的單調性有關(1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正項(或0)，所以將這些項相加即得Sn的最大值(2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負項(或0)，所以將這些項相加即得Sn的最小值(3)若a1>0，d>0，則Sn是遞增數(shù)列，S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，則Sn是遞減數(shù)列，S1是Sn的最大值類型一已知數(shù)列an的前n項和Sn求an引申探究例1中前n項和改為Snn2n1，求通項公式例1已知數(shù)列an的前n項和為Snn2n，求這個數(shù)列的通項公式這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？反思與感悟已知前n項和Sn求通項an，先由n1時，a1S1求得a1，再由n2時，anSnSn1求得an，最后驗證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示跟蹤訓練1已知數(shù)列an的前n項和Sn3n，求an.類型二等差數(shù)列前n項和的最值例2已知等差數(shù)列5,4，3，的前n項和為Sn，求當Sn取得最大值時n的值反思與感悟在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負)值或零，而它后面的各項皆取負(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)由于Sn為關于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖像或性質求解跟蹤訓練2在等差數(shù)列an中，an2n14，試用兩種方法求該數(shù)列前n項和Sn的最小值類型三求等差數(shù)列前n項的絕對值之和例3若等差數(shù)列an的首項a113，d4，記Tn|a1|a2|an|，求Tn.反思與感悟求等差數(shù)列an前n項的絕對值之和，根據(jù)絕對值的意義，應首先分清這個數(shù)列的哪些項是負的，哪些項是非負的，然后再分段求出前n項的絕對值之和跟蹤訓練3已知數(shù)列an中，Snn210n，數(shù)列bn的每一項都有bn|an|，求數(shù)列bn的前n項和Tn的表達式1已知數(shù)列an的前n項和Snn2n，則an等于()A4n2 Bn2 C2n1 D2n2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn(n1)2，則的值是()A2 B1 C0 D13首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項和為Sn，且S3S8，當n_時，Sn取到最大值4已知數(shù)列an的前n項和Sn32n，求an.1因為anSnSn1只有n2時才有意義，所以由Sn求通項公式anf(n)時，要分n1和n2兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示2求等差數(shù)列前n項和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意nN，結合二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值，更加直觀(2)通項法：當a1>0，d<0，時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，時，Sn取得最小值3求等差數(shù)列an前n項的絕對值之和，關鍵是找到數(shù)列an的正負項的分界點答案精析問題導學知識點一思考a1S11；當n2時，anSnSn1n2(n1)22n1，又n1時也適合上式，所以an2n1，nN.梳理S1SnSn1知識點二思考由二次函數(shù)的性質可以得出：當a10，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當a1>0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值題型探究例1解根據(jù)Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n>1，nN)，當n>1時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，當n1時，a1S112×1，也滿足式數(shù)列an的通項公式為an2n.故數(shù)列an是以為首項，2為公差的等差數(shù)列引申探究解當n2時，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.當n1時，a1S1121不符合式an跟蹤訓練1解當n1時，a1S13；當n2時，anSnSn13n3n12·3n1.當n1時，代入an2·3n1得a123.an例2解方法一由題意知，等差數(shù)列5,4，3，的公差為，所以Sn5n()(n)2.于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，Sn取得最大值方法二ana1(n1)d5(n1)×n.令ann0，解得n8，且a80，a9<0.故前n項和是從第9項開始減小，而第8項為0，所以前7項或前8項的和最大跟蹤訓練2解方法一an2n14，a112，d2.a1<a2<<a6<a70<a8<a9<.當n6或n7時，Sn取到最小值易求S6S742，(Sn)min42.方法二an2n14，a112.Snn213n2.當n6或n7時，Sn最小，且(Sn)min42.例3解a113，d4，an174n.當n4時，Tn|a1|a2|an|a1a2anna1d13n×(4)15n2n2；當n5時，Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an)S4(SnS4)2S4Sn2×(15n2n2)562n215n.Tn跟蹤訓練3解由Snn210n得anSnSn1112n(n2，nN)驗證a19也符合上式an112n，nN.當n5時，an>0，此時TnSnn210n；當n>5時，an<0，此時Tn2S5Snn210n50.即Tn當堂訓練1D2.B3.5或64an5