《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點3 平面向量學(xué)案 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點3 平面向量學(xué)案 文(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
突破點3 平面向量
[核心知識提煉]
提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:
(1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
提煉2 數(shù)量積常見的三種應(yīng)用
已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)證明向量垂直:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的長度:|a|==.
(3)求向量的夾角:cos〈a,b〉==.
提煉3 平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論
(1)A,B,C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ,μ,有
2、=λ+μ,且λ+μ=1.
(2)C是線段AB中點的充要條件是=(+).
(3)G是△ABC的重心的充要條件為++=0,若△ABC的三個頂點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標為.
(4)·=·=·?P為△ABC的垂心.
(5)非零向量a,b垂直的充要條件:a⊥b?a·b=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0.
(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ=,
向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ=.
[高考真題回訪]
回訪1 平面向量的線性運算
1.(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1),B(3,2),
3、向量=(-4,-3),則向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
A [設(shè)C(x,y),則=(x,y-1)=(-4,-3),
所以從而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.]
2.(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則+=( )
A. B.
C. D.
C [如圖,+=+++
=+=(+)
=·2=.]
回訪2 平面向量的數(shù)量積
3.(2015·全國卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0
4、
C.1 D.2
C [法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,
從而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
從而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故選C.]
4.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=________.
7 [∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).
又a+b與a垂直,∴(a+b)·a=0,
5、即(m-1)×(-1)+3×2=0,
解得m=7.]
5.(2013·全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=________.
2 [|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°.
∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1=+1-t=1-.
∵b·c=0,∴1-=0,∴t=2.]
回訪3 數(shù)量積的綜合應(yīng)用
6.(2012·全國卷)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________.
3 [∵a,b的夾角為45°,|a|=1,
∴a·b=|a|·|
6、b|cos 45°=|b|,
|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,
∴|b|=3.]
熱點題型1 平面向量的運算
題型分析:該熱點是高考的必考點之一,考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面:一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算;二是以向量的共線與垂直為切入點,考查向量的夾角、模等.
【例1】(1)(2017·衡水模擬)已知平面向量m,n的夾角為,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D為BC的中點,則||=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中
7、點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則·的值為( )
【導(dǎo)學(xué)號:04024046】
A.- B.
C. D.
(1)A (2)B [(1)由題意得=(+)=2(m-n),
所以||=2
=2
=2=2,故選A.
(2)如圖所示,=+.
又D,E分別為AB,BC的中點,
且DE=2EF,所以=,=+=,
所以=+.
又=-,
則·=·(-)
=·-2+2-·
=2-2-·.
又||=||=1,∠BAC=60°,
故·=--×1×1×=.故選B.]
[方法指津]
1.平面向量的線性運算要抓住兩條主線:一是基于“形”,通過作出向量,結(jié)合
8、圖形分析;二是基于“數(shù)”,借助坐標運算來實現(xiàn).
2.正確理解并掌握向量的概念及運算,強化“坐標化”的解題意識,注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
提醒:運算兩平面向量的數(shù)量積時,務(wù)必要注意兩向量的方向.
[變式訓(xùn)練1](1)在梯形ABCD中,AD∥BC,已知AD=4,BC=6,若=m+n(m,n∈R),則=( )
A.-3 B.-
C. D.3
(2)已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,則c·(a+b)=( )
A.(2,12) B.(-2,12)
C.14 D.10
(1)A (2)C [(1)如圖,過
9、D作DE∥AB.=m+n=+=-+,所以n=-,m=1,所以=-3.故選A.
(2)易知a-b=(-4,1),由(a-b)⊥c,可得(-4)×x+1×4=0,即-4x+4=0,解得x=1,∴c=(1,4).
而a+b=(2,3),∴c·(a+b)=1×2+4×3=14.故選C.]
熱點題型2 三角與向量的綜合問題
題型分析:平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運算作為題目條件.
【例2】 (名師押題)已知向量a=,b=(cos x,-1).
(1)當(dāng)a∥b時,求cos2x-sin 2x的值;
(2)設(shè)
10、函數(shù)f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sin B=,求y=f(x)+4cos 的取值范圍.
【導(dǎo)學(xué)號:04024047】
[解] (1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0, 2分
∴tan x=-, 4分
∴cos2x-sin 2x===. 6分
(2)f(x)=2(a+b)·b=sin +, 8分
由正弦定理得=,可得sin A=. 9分
∵b>a,∴A=, 10分
y=f(x)+4cos=sin-. 11分
∵x∈,
∴2x+∈,
∴-1≤y≤-,
即y的取值范圍是. 12分
11、
[方法指津]
平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標形式,多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合,計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關(guān)鍵點.
[變式訓(xùn)練2] 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)m=,n=,且m∥n.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC為銳角三角形,且A=,外接圓半徑R=2,求△ABC的周長.
[解] (1)由m∥n,得cos 2A-cos 2B=2coscos, 2分
即2sin2B-2sin2A=2,化簡得sin B=, 4分
故B=或. 6分
(2)由題易知B=,則由A=,得C=π-(A+B)=. 8分
由正弦定理===2R,得a=4sin=2,b=4sin=2,c=4sin=4sin=4×=+, 11分
所以△ABC的周長為+2+3. 12分
7