2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型學(xué)案 新人教B版選修4-5

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型學(xué)案 新人教B版選修4-5（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．3～2.4 平均值不等式(選學(xué))最大值與最小值問題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型 [讀教材·填要點] 1．平均值不等式 (1)定理1(平均值不等式)： 設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則 ≥ ， 等號成立?a1＝a2＝…＝an. ①推論1：設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)，且a1a2…an＝1，則a1＋a2＋…＋an≥n. 且等號成立?a1＝a2＝…＝an＝1. ②推論2：設(shè)C為常數(shù)，且a1，a2，…，an為n個正數(shù)；則當(dāng)a1＋a2＋…＋an＝nC時， a1a2…an≤Cn， 且等號成立?a1＝a2＝…＝an. (2)定理2： 設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)

2、，則 ≥， 等號成立?a1＝a2＝…＝an. (3)定理3： 設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，則 ≥≥， 等號成立?a1＝a2＝…＝an. 推論：設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則 (a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2. 2．最值問題 設(shè)D為f(x)的定義域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D， 則稱f(x0)為f(x)在D上的最大(小)值，x0稱為f(x)在D上的最大(小)值點，尋求函數(shù)的最大(小)值及最大(小)值問題統(tǒng)稱為最值問題． [小問題·大思維] 1．利用基本不等式≥求最值的條件是什么？ 提示：“一正、二定、三

3、相等”，即：(1)各項或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項或各因式能取得相等的值． 2．應(yīng)用三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式，求最值應(yīng)注意什么？ 提示：三個正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值．當(dāng)且僅當(dāng)三個正數(shù)相等時取得. 利用基本不等式求最值 [例1]　已知x＞0，y＞0，且＋＝1， 求x＋y的最小值． [思路點撥]　本題考查基本不等式的應(yīng)用，解答本題可靈活使用“1”的代換或?qū)l件進(jìn)行必要的變形，然后再利用基本不等式求得和的最小值． [精解詳析]　法一：∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10 ≥6＋10＝16.

4、 當(dāng)且僅當(dāng)＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12時，上式取等號． 故當(dāng)x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16. (1)運(yùn)用不等式求最大值、最小值，用到兩個結(jié)論，簡述為：“和定積最大”與“積定和最小”． (2)運(yùn)用定理求最值時：必須做到“一正，二定，三相等”． 1．求函數(shù)f(x)＝(x＞0)的最大值及此時x的值． 解：f(x)＝1－. 因為x＞0，所以2x＋≥2， 得－≤－2， 因此f(x)≤1－2， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x2＝時，式子中的等號成立． 由于x＞0，因而x＝時，等號成立． 因此f(x)max＝1－2，此時x＝. 利用平均值不等式求最值 [

5、例2]　已知x為正實數(shù)，求函數(shù)y＝x(1－x2)的最大值． [思路點撥]　本題考查三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式在求最值中的應(yīng)用．解答本題要根據(jù)需要拼湊出利用其算術(shù)—幾何平均不等式的條件，然后再求解． [精解詳析]　∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·. ∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤3＝. 當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝時取“＝”號． ∴y≤. ∴y的最大值為. (1)利用三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式定理求最值，可簡記為“積定和最小，和定積最大”． (2)應(yīng)用算術(shù)—幾何平均不等式定理，

6、要注意三個條件即“一正二定三相等”同時具備時，函數(shù)方可取得最值．其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如：配系數(shù)、拆項、分離常數(shù)、平方變形等． (3)當(dāng)不具備使用平均不等式定理的條件時，求函數(shù)的最值可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性． 2．已知x為正實數(shù)，求函數(shù)y＝x2·(1－x)的最大值． 解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x) ＝x·x·(2－2x)× ≤3＝×＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－2x，即x＝時取等號． 此時，ymax＝. 利用平均值不等式解應(yīng)用題 [例3]　已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時，圓柱的體積最大？

7、并求出這個最大的體積． [思路點撥]　本題考查算術(shù)—幾何平均不等式在實際問題中的應(yīng)用，解答本題需要作出圓錐、圓柱的軸截面，利用相似三角形建立各元素之間的關(guān)系，然后利用算術(shù)—幾何平均不等式求最大值． [精解詳析]　 設(shè)圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得 ＝， ∴r＝(H－h(huán))． ∴V圓柱＝πr2h＝(H－h(huán))2h(0＜h＜H)． 根據(jù)平均不等式可得 V圓柱＝···h≤3 ＝πR2H. 當(dāng)且僅當(dāng)＝h，即h＝H時，V圓柱最大＝πR2H. (1)在解求最值應(yīng)用題時，先必須確定好目標(biāo)函數(shù)，再用“平均值不等式”求最值． (2)在確定目標(biāo)函數(shù)時，必須使函數(shù)成為一元

8、函數(shù)，即只能含一個變量，否則是無法求最值的． 3．如圖(1)所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，如圖(2)所示，求這個正六棱柱容器容積的最大值． 解：設(shè)正六棱柱容器底面邊長為x(x>0)，高為h， 如圖可知2h＋x＝， 即h＝(1－x)， 所以V＝S底·h＝6×x2·h ＝x2··(1－x)＝2××××(1－x)≤9×3 ＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝1－x，即x＝時，等號成立． 所以當(dāng)?shù)酌孢呴L為時，正六棱柱容器容積最大值為. [對應(yīng)學(xué)生用書P35] 一、選擇題 1．函數(shù)y＝3x＋(x>0)的最

9、小值是(　　) A．6　　　　　　　　　 B．6 C．9 D．12 解析：y＝3x＋＝＋＋≥3＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2時取等號． 答案：C 2．已知x＋2y＋3z＝6，則2x＋4y＋8z的最小值為(　　) A．3 B．2 C．12 D．12 解析：∵2x>0,4y>0,8z>0， ∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3 ＝3＝3×4＝12. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝22y＝23z， 即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝時取等號． 答案：C 3．設(shè)x，y為正實數(shù)，且滿足x＋4y＝40，則lg x＋lg y

10、的最大值是(　　) A．40 B．10 C．4 D．2 解析：因為x，y為正實數(shù)，∴≤. ∴≤＝10.∴xy≤100. ∴l(xiāng)g x＋lg y＝lg xy≤lg100＝2. 答案：D 4．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….啟發(fā)我們可以推廣結(jié)論為：x＋≥n＋1(n∈N＋)，則a的值為(　　) A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1 解析：x＋＝ ≥(n＋1) ＝(n＋1)， 由推廣結(jié)論知＝1，∴a＝nn. 答案：A 二、填空題 5．設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則·的最小值為______． 解

11、析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2·＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝時等號成立，即|xy|＝時等號成立． 答案：9 6．若x，y∈R＋且xy＝1，則的最小值是________． 解析：∵x>0，y>0，xy＝1， ∴＝1＋＋＋xy ≥1＋3＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝xy， 即x＝y(tǒng)＝1時取等號． 答案：4 7．對于x∈，不等式＋≥16恒成立，則正數(shù)p的取值范圍為________． 解析：令t＝sin2x，則cos2x＝1－t. 又x∈，∴t∈(0,1)． 不等式＋≥16可化為 p≥(1－t)， 而y＝(1－t) ＝17－≤17－2 ＝9， 當(dāng)＝16t，即t＝時取等號，

12、 因此原不等式恒成立，只需p≥9. 答案： [9，＋∞) 8．設(shè)三角形三邊長為3,4,5，P是三角形內(nèi)的一點，則P到這三角形三邊距離乘積的最大值是________． 解析：設(shè)P到長度為3,4,5的三角形三邊的距離分別是x，y，z，三角形的面積為S. 則S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52， ∴這個直角三角形的面積S＝×3×4＝6. ∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3≤3x＋4y＋5z＝12. ∴(xyz)max＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝1，z＝時等號成立． 答案： 三、解答題 9．已知a，b，x，y均為正實數(shù)，x，y為變數(shù)，a，b為常數(shù)，且a＋b＝10，＋

13、＝1，x＋y的最小值為18，求a，b. 解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 又(x＋y)min＝(＋)2＝18， 即a＋b＋2＝18 ① 又a＋b＝10 ② 由①②可得或 10．已知某輪船速度為每小時10千米，燃料費為每小時30元，其余費用(不隨速度變化)為每小時480元，設(shè)輪船的燃料費用與其速度的立方成正比，問輪船航行的速度為每小時多少千米時，每千米航行費用總和為最?。? 解：設(shè)船速為V千米/小時，燃料費為A元/小時．則依題意有 A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.

14、 ∴A＝V3. 設(shè)每千米的航行費用為R，需時間為小時， ∴R＝＝V2＋＝V2＋＋≥3＝36. 當(dāng)且僅當(dāng)V2＝，即V＝20時取最小值． 答：輪船航行速度為20千米/小時時，每千米航行費用總和最小． 11.如圖所示，在一張半徑是2米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈．大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就?。粧斓锰?，桌子的邊緣處仍然是不亮的．由物理學(xué)知道，桌子邊緣一點處的照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角θ的正弦成正比，而和這一點到光源的距離r的平方成反比．即E＝k. 這里k是一個和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)．那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？ 解：∵r＝， ∴E＝k·(0<θ<)， ∴E2＝·sin2θ·cos4θ ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤·3＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2sin2θ＝cos2θ即tan2θ＝，tan θ＝時取等號， ∴h＝2tan θ＝，即h＝米時，E最大． 10