2017-2018版高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)章末復習課學案 新人教B版選修2-2

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1、 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 題型一　分類討論思想的應用 例1　實數(shù)k為何值時，復數(shù)(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)滿足下列條件？ (1)是實數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)． 解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時，該復數(shù)為實數(shù)． (2)當k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時，該復數(shù)為虛數(shù)． (3)當即k＝4時，該復數(shù)為純虛數(shù)． 反思與感悟　當復數(shù)的實部與虛部含有字母時，利用復數(shù)的有關概念進行分類討論．分別確定什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．

2、當x＋yi沒有說明x，y∈R時，也要分情況討論． 跟蹤訓練1　(1)若復數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)＝－1 B．a(chǎn)≠－1且a≠2 C．a(chǎn)≠－1 D．a(chǎn)≠2 答案　C 解析　若一個復數(shù)不是純虛數(shù)，則該復數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實數(shù)．當a2－a－2≠0時，已知的復數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得a≠－1且a≠2；當a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0時，已知的復數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得a＝2.綜上所述，當a≠－1時，已知的復數(shù)不是一個純虛數(shù)． (2)實數(shù)x取什么值時，復數(shù)z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛

3、數(shù)；④零． 解　①當x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5時，復數(shù)z為實數(shù)； ②當x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5時，復數(shù)z為虛數(shù)； ③當x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2時，復數(shù)z是純虛數(shù)； ④當x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3時，復數(shù)z為零． 題型二　數(shù)形結合思想的應用 例2　已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應的復數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點C所對應的復數(shù)z. 解　設z＝x＋yi，x，y∈R，如圖． ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|， 即 解得或

4、. ∵|OA|≠|(zhì)BC|， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z＝－5. 反思與感悟　數(shù)形結合既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種常用的數(shù)學方法．本章中，復數(shù)本身的幾何意義、復數(shù)的模以及復數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)．它們得以相互轉(zhuǎn)化．涉及的主要問題有復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的位置、復數(shù)運算及模的最值問題等． 跟蹤訓練2　已知復數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2. (2)如圖所示，由|z|＝1可知，z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是半徑為1，圓心為O(

5、0,0)的圓，而z1對應著坐標系中的點Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是點Z1(2，－2)到圓上的點的距離的最大值．由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r為圓半徑)＝2＋1. 題型三　轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用 例3　已知z是復數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)，且(z＋ai)2的對應點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． 解　設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實數(shù)，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實數(shù)， ∴x＝4.∴z＝4－2i， 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)

6、i在第一象限． ∴，解得2

7、乘法，除法類比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1. 在運算的過程中常用來降冪的公式有 (1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1±i)2＝±2i； (3)設ω＝－±i，則ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等； (4)(±i)3＝－1； (5)作復數(shù)除法運算時，有如下技巧： ＝＝＝i，利用此結論可使一些特殊的計算過程簡化． 例4　計算： (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)； (2)＋()2 006. 解　(1)方法一　(1－i)(－＋i)(1＋i) ＝(－＋

8、i＋i－i2)(1＋i) ＝(＋i)(1＋i) ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 方法二　原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i) ＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. (2)＋()2 006＝＋ ＝－＝i－＝i－i＝0. 反思與感悟　復數(shù)的運算可以看作多項式的化簡，加減看作多項式加減，合并同類項，乘法和除法可看作多項式的乘法． 跟蹤訓練4　計算：＋－. 解?。? ＝＋－ ＝＋－ ＝2－(i＋3)－i＝－1－2i. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 高考對本章考查的重點 1．對復數(shù)的概念的考查是考查復數(shù)的基礎，要求準確理解虛數(shù)單位、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、實部、虛部、復數(shù)的模等概念． 2．對復數(shù)四則運算的考查可能性較大，要加以重視，其中復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似；對于復數(shù)的除法運算，將分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的結構形式． 3．對復數(shù)幾何意義的考查．在高考中一般會結合復數(shù)的概念、復數(shù)的加減運算考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)加減法的幾何意義． 5