2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 [核心必知] 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念 當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟: (1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過程 [問題思考] 1.在數(shù)學(xué)歸納法中,n0一定等于1嗎? 提示:不一定.n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值, 有時(shí)是n0=1或n0=2. 有時(shí)n0值也比較大,而不一定是從1開始取值.

2、 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍是什么? 提示:數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明. 3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩步的作用是什么? 提示:在數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“驗(yàn)證n=n0時(shí),命題成立”,是歸納奠基、是推理證明的基礎(chǔ). 第二步是歸納遞推,保證了推理的延續(xù)性,證明了這一步,就可以斷定這個(gè)命題對于n取第一個(gè)值n0后面的所有正整數(shù)也都成立.    用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+). [精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用,解答本題需要注意等式的左邊有2n項(xiàng),右邊有n項(xiàng),由k到k+1時(shí),左邊增加兩項(xiàng),右邊增加一項(xiàng),而且左、右兩邊的首項(xiàng)

3、不同,因此由“n=k”到“n=k+1”時(shí),要注意項(xiàng)的合并. (1)當(dāng)n=1時(shí), 左邊=1-=, 右邊=,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,且k∈N+)時(shí)命題成立, 即有1-+-+…+- =++…+. 則當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=1-+-+…+-+- =++…++- =++…++, 從而可知,當(dāng)n=k+1時(shí),命題亦成立. 由(1)(2)可知,命題對一切正整數(shù)n均成立. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是準(zhǔn)確表述n=n0時(shí)命題的形式,二是準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時(shí),命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn). (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的常見問題①第一步中的驗(yàn)證,對

4、于有些問題驗(yàn)證的并不是n=1,有時(shí)需驗(yàn)證n=2,n=3. ②對n=k+1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及n=k與n=k+1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障. ③“假設(shè)n=k時(shí)命題成立,利用這一假設(shè)證明n=k+1時(shí)命題成立”,這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié),對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清,推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范. 1.證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+). 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12-22=-3, 右邊=-1×(2×1+1)=-3, ∴當(dāng)n=1時(shí),等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,就是 12-2

5、2+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k·(2k+1). 當(dāng)n=k+1時(shí), 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2 =-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3) =-(k+1)[2(k+1)+1],∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N+都成立.    求證:二項(xiàng)式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除. [精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問題中的應(yīng)用,解答本題需要設(shè)法將x2n-y2n進(jìn)行分解因式得出x+

6、y,由于直接分解有困難,故采用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)當(dāng)n=1時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y), ∴能被x+y整除. (2)假設(shè)n=k(k≥1,且k∈N+)時(shí), x2k-y2k能被x+y整除, 當(dāng)n=k+1時(shí), 即x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2y2k-y2·y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2). ∵x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除, ∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除. 即n=k+1時(shí),x2k+2-y2k+2能被x+y整除. 由(1)(2)可知,對任意的正整數(shù)n命題均成立.    利用數(shù)

7、學(xué)歸納法證明整除問題時(shí),關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式,這就往往要涉及到“添項(xiàng)”與“減 項(xiàng)”等變形技巧,例如,在本例中,對x2k+2-y2k+2進(jìn)行拼湊,即減去x2y2k再加上x2y2k,然后重新組合,目的是拼湊出n=k時(shí)的歸納假設(shè),剩余部分仍能被x+y整除. 2.求證:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),13+(1+1)3+(1+2)3=36,能被9整除,命題成立. (2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即 k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =(k+1)3+(k+2)3+

8、k3+3k2·3+3k·32+33 =k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3). 由歸納假設(shè),上式中k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,又9(k2+3k+3)也能被9整除. 故n=k+1時(shí)命題也成立. 由(1)(2)可知,對任意n∈N+命題成立.    平面上有n(n≥2,且n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點(diǎn),求證:這n條直線共有f(n)=個(gè)交點(diǎn). [精講詳析] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用,解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律,然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)當(dāng)n=2時(shí),∵兩相交直線只有1個(gè)交點(diǎn), 又f(2)

9、=×2×(2-1)=1.∴當(dāng)n=2時(shí),命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N+)時(shí)命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=k(k-1),則當(dāng)n=k+1時(shí),任取其中一條直線記為l,如圖,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk.由歸納假設(shè)知,它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn),所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點(diǎn)共有k個(gè). ∴f(k+1)=f(k)+k=+k= ==. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+且n≥2成立. 對于幾何問題的證明,可以從有限情形中歸

10、納出一個(gè)變化的過程,或者說體會(huì)出是怎么變化的,然后再去證明,也可以采用遞推的辦法,利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí),關(guān)鍵是正確分析由n=k到n=k+1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律. 3.證明:凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)=n·(n-3)(n≥4). 證明:(1)n=4時(shí),f(4)=·4·(4-3)=2, 四邊形有兩條對角線,命題成立. (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立, 即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)=k(k-3)(k≥4) 當(dāng)n=k+1時(shí),凸k+1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊,增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak+1,增加的對角線條數(shù)是頂點(diǎn)Ak+1與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊A1Ak,共增加的對角

11、線條數(shù)為(k+1-3)+1=k-1. f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2) =(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3]. 故n=k+1時(shí) 由(1)、(2)可知,對于n≥4,n∈N+公式成立. 本課時(shí)考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,天津高考將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合,以解答題的形式進(jìn)行了考查,是高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn). [考題印證] (天津高考)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記Tn=anb

12、1+an-1b2+…+a1bn,n∈N+,證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N+). [命題立意] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)列問題中的應(yīng)用. [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由條件, 得方程組解得 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N+. (2)法一:由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.② 由②-①,得Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2

13、 =+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10. 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12 =10×2n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N+. 法二:(1)當(dāng)n=1時(shí),T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立, 即Tk+12=-2ak+10bk, 則當(dāng)n=k+1時(shí)有Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-

14、4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12. 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時(shí)等式也成立. 由(1)和(2),可知對任意n∈N+,Tn+12=-2an+10bn成立. 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+)”時(shí),在驗(yàn)證當(dāng)n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是(  ) A.1           B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析:選C 由于等式左邊當(dāng)n=1時(shí),冪指數(shù)的最大值為1+1=2, ∴左邊計(jì)算結(jié)果為1+a+

15、a2或在等式中左邊共有n+2項(xiàng),∴n=1時(shí),共有3項(xiàng). 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)·… ·(n+n)=2n×1×3…(2n-1)時(shí),從“k到k+1”左邊需增乘的代數(shù)式是(  ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 解析:選C 當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=(k+1+1)(k+1+2)·… ·(k+1+k+1) =(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)· =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1). 3.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成

16、立,那么可推得(  ) A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立 解析:選C 與“如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)n=k+1時(shí)命題不成立,則當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),命題也不成立”. 故知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立, 可推得當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,故選C. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“

17、.歸納假設(shè)寫法不正確 C.從k到k+1推理不嚴(yán)密 D.從k到k+1的推理過程未使用歸納假設(shè) 解析:選D ∵在上面的證明中,當(dāng)n=k+1時(shí)證明過程沒有錯(cuò)誤,但沒有用到當(dāng)n=k時(shí)的結(jié)論,這樣就失去假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立的意義,也不能構(gòu)成一個(gè)遞推關(guān)系,這不是數(shù)學(xué)歸納法. ∴A、B、C都不對,選D. 二、填空題 5.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N+),則f(n+1)-f(n)等于________. 解析:因?yàn)閒(n)=1+++…+. 所以f(n+1)=1+++…++++. 所以f(n+1)-f(n)=++. 答案:++ 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y

18、整除”時(shí),在歸納假設(shè)中,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,那么下一步應(yīng)證明n=________時(shí)命題也成立. 解析:兩個(gè)奇數(shù)之間相差2. 答案:k+2 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的過程中,第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到________. 解析:∵n=k時(shí),命題為“1+2+22+…+2k-1=2k-1”, ∴n=k+1時(shí)為使用歸納假設(shè),應(yīng)寫成 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k, 又考慮到目的,最終應(yīng)為2k+1-1. 答案:1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明22+32+…+n

19、2=-1(n∈N+,且n>1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n=________,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊的式子為________. 解析:∵n=k時(shí),命題為“1+2+22+…+2k-1=2k-1”, ∴n=k+1時(shí)為使用歸納假設(shè),應(yīng)寫成 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k, 又考慮到目的,最終應(yīng)為2k+1-1. 答案:1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 三、解答題 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明: ++…+=++…+. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊==, 右邊=,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即 ++…+ =++…+, 則當(dāng)n=k+1時(shí), ++…++

20、 =++…++ =++…+++ =++…+++ =++…++, 即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對一切n∈N+,等式成立. 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除. 證明:(1)當(dāng)n=0時(shí),A0=112+12=133能被133整除. (2)假設(shè)n=k時(shí),Ak=11k+2+122k+1能被133整除. 當(dāng)n=k+1時(shí), Ak+1=11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1 =11·11k+2+11·122k+1+(122-11)·122k+1 =11·(11k+2+122k+1)+13

21、3·122k+1. ∴n=k+1時(shí),命題也成立. 根據(jù)(1)、(2),對于任意整數(shù)n≥0,命題都成立. 11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn,an的等差中項(xiàng)為1. (1)寫出a1,a2,a3; (2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解:(1)由題意Sn+an=2, ∴a1=1,a2=,a3=. (2)猜想an=, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí),a1=1,==1,等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立, 即ak=, ∵Sk+1=2-ak+1,Sk+1-Sk =ak+1,Sk=2-ak, ∴ak+1=ak=, 即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立. 根據(jù)①②可知,對一切n∈N+,等式成立. 12

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