2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文

突破點(diǎn)15函數(shù)與方程核心知識(shí)提煉提煉1 函數(shù)yf(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(2)幾何法：對(duì)于不能求解的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)(3)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，即如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn).提煉2 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題要注意觀察是否需要將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為定曲線與動(dòng)直線問(wèn)題高考真題回訪回訪已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍1(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn)，則a()ABC. D1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a.故選C.法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C.2(2014·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(，2) B(1，)C(2，) D(，1)Af(x)3ax26x，當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x3x(3x2)，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；x時(shí)，f(x)<0；x時(shí)，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示圖(1)不符合題意，排除B、C.當(dāng)a時(shí)，f(x)4x26x2x(2x3)，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，x(0，)時(shí)，f(x)<0，注意f(0)1，f，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示圖(2)不符合題意，排除D.熱點(diǎn)題型1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷題型分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題，難度中等偏難【例1】(1)(2017·貴陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)當(dāng)1a2時(shí)，關(guān)于x的方程ff(x)a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024128】A2B3C4 D5(2)已知函數(shù)f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的所有零點(diǎn)之和為()A6B8 C.10D12(1)C(2)D(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1a2，作出函數(shù)f(x)的圖象，令f(x)t(t0)，則f(t)a，a(1,2)，所以t(e，e2)，當(dāng)t時(shí)，因?yàn)?，由f(x)t可得此時(shí)有兩個(gè)解；當(dāng)t(e，e2)時(shí)，因?yàn)閑2，由f(x)t可得此時(shí)有兩個(gè)解，故關(guān)于x的方程ff(x)a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，故選C.(2)函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)的根之和，即轉(zhuǎn)化為y1f(x)和y2g(x)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和又由函數(shù)g(x)2|x2|與f(x)的圖象均關(guān)于x2對(duì)稱，可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12.方法指津求解此類函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)，通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)其解題的關(guān)鍵步驟為：分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)；在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)提醒：在畫函數(shù)圖象時(shí)，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時(shí)應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等)的適時(shí)運(yùn)用，可加快畫圖速度，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化變式訓(xùn)練1 (1)(2017·武漢一模)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(1x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4(2)(2017·南昌一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)ln xx1，則函數(shù)g(x)f(x)ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3(1)C(2)C(1)g(x)f(1x)1當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C.(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ln xx1，則f(x)1，由f(x)0得x1，且x(0,1)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極大值f(1)0，又奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出函數(shù)圖象如圖，由圖可知函數(shù)f(x)與yex的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，則函數(shù)g(x)f(x)ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，故選C.熱點(diǎn)題型2已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍題型分析：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，對(duì)學(xué)生的畫圖能力有較高要求【例2】(1)(2017·焦作二模)已知函數(shù)f(x)F(x)f(x)x1，且函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，0 B1，)C(，1) D(0，)(2)(2017·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)kx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024129】A(0,2) B.C(0，) D(0，e)(1)C(2)B(1)當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)exx1，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)0，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)xx(a1)，函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn)，1a0，a1.故選C.(2)由題意，知x0，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程kx0只有一個(gè)根，即方程k只有一個(gè)根，則函數(shù)g(x)與直線yk只有一個(gè)交點(diǎn)因?yàn)間(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，當(dāng)0x2時(shí)，g(x)0，當(dāng)x2時(shí)，g(x)0，所以函數(shù)g(x)在(，0)上是增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)，g(x)的極小值為g(2)，且x0，g(x)；x，g(x)0；x，g(x)，則g(x)的大致圖象如圖所示，由圖易知0k，故選B.方法指津求解此類逆向問(wèn)題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍提醒：把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，在構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)的過(guò)程中，一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果變式訓(xùn)練2 (1)(2016·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024130】A. B.C D(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f(x)f(x)0，當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x21)f(x)f(x)，又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x只有一個(gè)零點(diǎn)，即2x2x10只有一個(gè)零點(diǎn)，則18(1)0，解得，故選C.(2)因?yàn)閒(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示：因?yàn)間(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以yf(x)和ylogax的圖象在(0，)上只有三個(gè)交點(diǎn)，所以解得3a5.7