2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版選修2-1

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1、 第一章 常用邏輯用語 1　怎樣解邏輯用語問題 1．利用集合理清關(guān)系 充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點．要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法．本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好．集合模型解釋如下： (1)A是B的充分條件，即A?B. (2)A是B的必要條件，即B?A. (3)A是B的充要條件，即A＝B. (4)A是B的既不充分也不必要條件， 即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素． 或 例1　設(shè)集合S＝{0，a}，T＝{x∈

2、Z|x2<2}，則“a＝1”是“S?T”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析　T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1，0，1}，a＝1時，S＝{0，1}，所以S?T；反之，若S?T，則S＝{0，1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要條件． 答案　充分不必要 2．抓住量詞，對癥下藥 全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對癥下藥． 例2　(1)已知命題p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”與命

3、題q：“存在x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______________． (2)已知命題p：“存在x0∈[1，2]，x－a≥0”與命題q：“存在x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為__________________． 解析　(1)將命題p轉(zhuǎn)化為當x∈[1，2]時， (x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1. 命題q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2. 綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1]． (2)命題p轉(zhuǎn)化為當x0∈[1，2]時，(x－a)max≥0， 即4－a

4、≥0，即a≤4.命題q同(1)． 綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1]∪[2，4]． 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2，4] 點評　認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)——量詞，有的放矢． 3．挖掘等價轉(zhuǎn)化思想，提高解題速度 在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真． 例3　設(shè)p：q：x2＋y2≤r2 (

5、r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍． 分析　“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”．設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則可由A?RB出發(fā)解題． 解　設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合，也即是圓x2＋y2＝r2外的點的集合． ∵A?RB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r， ∴直線3x＋4y－12＝0上的點到原點的最近距離大于等于r，∵原點O到直線3x＋4y－12＝0的距離 d＝＝，∴r的取值范圍為(0，]． 點評　若直接解的話，q是綈p的充分不必要條

6、件即為x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所對應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的．但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法. 2　辨析命題的否定與否命題 否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個相似知識點，但又有著本質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個方面來看一下它們的區(qū)別． 1．否命題與命題的否定的概念 設(shè)命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定．所以從概念上看“否命題”是對原命題的條件和結(jié)論同時否定后得到的新命題，而且否定的條件仍為條件，

7、否定的結(jié)論仍為結(jié)論．“命題的否定”是對原命題結(jié)論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結(jié)論相反． 例1　寫出下列命題的否命題及否定： (1)若|x|＋|y|＝0，則x，y全為0； (2)函數(shù)y＝x＋b的值隨x的增加而增加． 分析　問題(1)直接依據(jù)格式寫出相應(yīng)的命題；問題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應(yīng)的命題． 解　(1)原命題的條件為“|x|＋|y|＝0”，結(jié)論為“x，y全為0”． 寫原命題的否命題需同時否定條件和結(jié)論，所以原命題的否命題為“若|x|＋|y|≠0，則x，y不全為0”． 寫原命題的否定只需否定結(jié)論，所以原命題的否定為“若|x|＋|y|＝

8、0，則x，y不全為0”． (2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也隨之增加”． 否命題為“若x不增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也不增加”； 命題的否定為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值不增加”． 點評　如果所給命題是“若A，則B”的形式，則可以依據(jù)否命題和命題的否定的定義，直接寫出相應(yīng)的命題．如果不是“若A，則B”的形式，則需要先將其改寫成“若A，則B”的形式，便于寫出命題的否定形式及其否命題． 2．否命題與命題的否定的真假 從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假沒有必然的關(guān)系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假．但是原

9、命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真．這也可以作為檢驗寫出的命題是否正確的標準． 例2　寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假： (1)若x2<4，則－20且n>0，則m＋n>0. 分析　依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定．根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個判斷其真假． 解　(1)否命題：“若x2≥4，則x≥2或x≤－2”． 命題的否定：“若x2<4，則x≥2或x≤－2”． 通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假． (2)否命題：“若m≤0或n≤0，則m＋n≤0”．

10、 命題的否定：“若m>0且n>0，則m＋n≤0”． 由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假. 3　判斷條件四策略 1．應(yīng)用定義 如果p?q，那么稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件．判斷時的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論． 例1　設(shè)集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析　條件p：x∈M或x∈P；結(jié)論q：x∈P∩M. 若x∈M，則x不一定屬于P，即x不一定屬于P∩M， 所以p?q；若x∈P∩M，則x∈M且x∈P，所以q

11、?p. 綜上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件． 答案　必要不充分 2．利用傳遞性 充分、必要條件在推導(dǎo)的過程當中具有傳遞性，即：若p?q，q?r，則p?r. 例2　如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的______條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析　依題意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命題的傳遞性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分條件． 答案　必要不充分 3．利用集合 運用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出現(xiàn)，

12、q以非空集合B的形式出現(xiàn)，則①若A?B，則p是q的充分條件；②若B?A，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的充分不必要條件；④若BA，則p是q的必要不充分條件；⑤若A＝B，則p是q的充要條件． 例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是________． 解析　設(shè)p，q分別對應(yīng)集合P，Q， 則P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由題意知，p?q，但q?p，故PQ， 所以或解得m≥9. 即m的取值范圍是[9，＋∞)． 答案　[9，＋∞) 4．等價轉(zhuǎn)化 由于互為逆否命題

13、的兩個命題同真同假，所以當由p?q較困難時，可利用等價轉(zhuǎn)化，先判斷由綈q?綈p，從而得到p?q. 例4　已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，則p是q的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析　因為p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1， 所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1. 因為綈p?綈q，但綈q?綈p， 所以綈q是綈p的充分不必要條件， 即p是q的充分不必要條件． 答案　充分不必要 4　例析邏輯用語中的常見誤區(qū) 誤區(qū)1　所有不等式、集合運算式都不是命題 例1　判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假．

14、 (1)x＋2>0； (2)x2＋2>0； (3)A∩B＝A∪B； (4)A?(A∪B)． 錯解　(1)(2)(3)(4)都不是命題． 剖析　(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x＋2的值也不確定，故無法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題． (2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題． (3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B； 若AB，則A∩B＝A(A∪B)＝B. 由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題． (4)A為A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)為真命題． 正

15、解　(2)(4)是命題，且都為真命題． 誤區(qū)2　原命題為真，其否命題必為假 例2　判斷下列命題的否命題的真假： (1)若a＝0，則ab＝0；(2)若a2>b2，則a>b. 錯解　(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題； (2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題． 剖析　否命題的真假與原命題的真假沒有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應(yīng)先寫出原命題的否命題，再判斷． 正解　(1)否命題為：若a≠0，則ab≠0，是假命題； (2)否命題為：若a2≤b2，則a≤b，是假命題． 誤區(qū)3　搞不清誰是誰的條件 例3　使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件是(　

16、　) A．x>3 B．x>4 C．x>2 D．x∈{1，2，3} 錯解　由不等式x－3>0成立， 得x>3，顯然x>3?x>2，又x>2?x>3，因此選C. 剖析　若p的一個充分不必要條件是q，則q?p，p?q.本題要求使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件為x>4. 正解　B 誤區(qū)4　考慮問題不周 例4　如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也

17、不必要條件 錯解　判別式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，則判別式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根”的充要條件，選C. 剖析　判別式Δ＝b2－4ac只適用于一元二次方程的實數(shù)根存在情況的判斷．對于方程ax2＋bx＋c＝0，當a＝0時，原方程為一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判別式，所以當b2>4ac時不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，則它的判別式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4a

18、c.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根”的必要不充分條件． 正解　B 誤區(qū)5　用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論 例5　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出“p∨q”． (2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“p∧q”． 錯解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2. (2)p∧q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形． 剖析　(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p∨q”，“p∧q”也都應(yīng)是

19、假命題．而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題．錯誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的條件． 正解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p∧q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形． 誤區(qū)6　不能正確否定結(jié)論 例6　p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實數(shù)根，試寫出“綈p”． 錯解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 剖析　命題p的結(jié)論為“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”． 正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0沒

20、有兩個相等的實數(shù)根． 誤區(qū)7　對含有一個量詞的命題否定不完全 例7　已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2<0，寫出綈p. 錯解一　綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2≥0. 錯解二　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0. 剖析　該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對結(jié)論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結(jié)論進行否定． 正解　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0. 誤區(qū)8　忽略了隱含的量詞 例8　寫出下列命題的否定： (1)不相交的兩條直線是平行直線； (2)奇函數(shù)的

21、圖象關(guān)于y軸對稱． 錯解　(1)不相交的兩條直線不是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱． 剖析　以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題．對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質(zhì)只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題，要特別引起注意． 正解　(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱. 5　解“邏輯”問題的三意識 1．轉(zhuǎn)化意識 由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷或證明． 例1　證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 分析　本題直

22、接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題． 證明　命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1”的逆否命題是“若a－b＝1，則a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命題的逆否命題是真命題，∴原命題也是真命題．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 例2　命題p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命題q：實數(shù)x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分條件，求a的取值范圍． 分析　將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為

23、集合之間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為集合運算問題． 解　設(shè)A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)} ＝{x|3a0} ＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2} ＝{x|x<－4或x≥－2}． 因為q是p的必要不充分條件， 所以p?q，q?p，由AB得 或即a≤－4或－≤a<0. 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4]∪[－，0)． 2．簡化意識 判斷命題真假的關(guān)鍵：一是識別命題的構(gòu)成形式；二是分別將各命題簡化，對等價的簡化命題進行判斷． 例3　已知命題

24、p：函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，命題q：函數(shù)y＝－(5－2a)x是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______． 分析　先將命題p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到a的取值范圍． 解析　函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1； 函數(shù)y＝－(5－2a)x是減函數(shù)?5－2a>1?a<2， 即q真?a<2. 由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假．若p真q假，則無解；若p

25、假q真，則1