2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓 1 第一課時(shí) 平移、旋轉(zhuǎn)、反射和相似與位似學(xué)案 北師大版選修4-1

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1、 第一課時(shí)　平移、旋轉(zhuǎn)、反射和相似與位似 [對應(yīng)學(xué)生用書P1] 1．平移、旋轉(zhuǎn)、反射 變換 含義 平移 圖形的平移過程稱為平移變換 旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn)過程稱為旋轉(zhuǎn)變換 反射 一個(gè)圖形F繞一條直線l翻轉(zhuǎn)180°得到另外一個(gè)圖形F′，則F與F′關(guān)于l對稱，這種圖形的變化過程稱為反射變換，直線l稱為反射軸 2．相似與位似 變換 含義 相似 兩個(gè)圖形的形狀相同，但大小不同，這兩個(gè)圖形是相似圖形，把一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小，這種圖形的變化過程稱為相似變換 位似 把一個(gè)圖形變?yōu)樗奈凰茍D形，這種圖形的變化過程稱為位似變換 1．平移、旋轉(zhuǎn)變換過程中有何

2、異同點(diǎn)？ 提示：相同點(diǎn)：兩者不改變圖形的形狀和大小． 不同點(diǎn)：平移不會(huì)改變圖形的方向，而旋轉(zhuǎn)改變圖形方向． 2．反射變換其實(shí)質(zhì)是軸對稱變換對嗎？ 提示：對．反射變換其實(shí)質(zhì)就是軸對稱變換．反射是由一條反射線確定，反射線也叫對稱軸，是連接圖形中任一點(diǎn)與該點(diǎn)映象之間的所有線段的垂直平分線． 3．位似變換是特殊的相似變換嗎？ 提示：相似變換是把一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小，而位似變換是圖形的位置發(fā)生了改變，其形狀、對應(yīng)角的大小都不變．位似變換是一種特殊的相似變換． [對應(yīng)學(xué)生用書P1] 相似與位似變換及應(yīng)用 [例1]　如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,1)，B(4,4)，C

3、(6,3)，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，位似變換后，求A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)． [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查相似和位似變換，解答此題需要先利用相似變換后再利用位似中心確定圖形． [精解詳析]　如圖A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A′(4,2)，B′(8,8)，C′(12,6)和A″(－4，－2)， B″(－8，－8)，C″(－12，－6)． 相似變換的關(guān)鍵是確定相似比，而位似變換是由位似比決定的．若設(shè)A和A′是F和F′上任意一對對應(yīng)點(diǎn)，則O，A，A′共線且＝a·，(定值)a為F與F′的位似比，O是位似中心．當(dāng)A和A′居位似中心同側(cè)時(shí)，a>0，當(dāng)A和A′分

4、別位居位似中心兩側(cè)時(shí)，a<0.故可知F與F′的相似比為|a|.特別地當(dāng)a＝－1時(shí)，位似變換就是中心對稱變換． 1．如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)該屬于(　　) A．相似變換　　　　　　　　 B．平移變換 C．反射變換 D．旋轉(zhuǎn)變換 解析：選A　用放大鏡放大是按一定比例放大的．屬相似變換． 2．如圖，小“魚”與大“魚”是位似圖形，如果小“魚”上一個(gè)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為(a，b)，那么大“魚”上對應(yīng)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為(　　) A．(－a，－2b)　　　　　　　　 B．(－2a，－b) C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a) 解析：選C

5、　找對稱點(diǎn)，易知選C. 平移、旋轉(zhuǎn)、反射 [例2]　觀察下列幾組圖，分析每組圖中的右圖是由左圖經(jīng)過怎樣的變換得到的． [思路點(diǎn)撥]　本題考查對平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換的理解．解答此題，只需按照各自變換的含義判斷可得結(jié)論． [精解詳析]　(1)平移變換．(2)旋轉(zhuǎn)變換．(3)反射變換． 判斷兩個(gè)圖形中的一個(gè)圖形是經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、反射哪種變換得到另一個(gè)圖形，應(yīng)抓住它們的特點(diǎn)判斷．平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換只改變了圖形的位置，形狀、大小沒變．平移是把一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，旋轉(zhuǎn)是把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)，沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，反射是把一個(gè)圖形繞一條直線翻轉(zhuǎn)180°.

6、 本例(1)中兩圖形若放置如下圖．△A1B1C1與△A2B2C2全等．方格紙中正方形的邊長為1. 在方格紙中將△A2B2C2經(jīng)過怎樣的變換后可以與△A1B1C1成中心對稱圖形？ 解：變換方法不唯一．如圖，△A2B2C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后即與△A1B1C1成中心對稱圖形．對稱中心為O. [例3]　如圖，平面鏡A與B之間夾角為110°，光線經(jīng)平面鏡A反射到平面鏡B上，再反射出去，若∠1＝∠2，則∠1的度數(shù)為 ． [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查反射的應(yīng)用，解答此題時(shí)注意入射線與反射線間關(guān)系． [精解詳析]　∵∠1＝∠2，且∠1＋∠2＋110°＝180°， ∴∠

7、1＝35°. [答案]　35° 入射線與反射線關(guān)于界面的法線對稱．即法線為反射軸，解決時(shí)注意結(jié)合圖形分析平面圖形的幾何性質(zhì)． 3．如下圖，△ABC中，∠A＝30°，以BE為邊，將此三角形對折．其次，又以BA為邊，再一次對折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)∠CDB＝82°，則原三角形的∠B＝ 度． 解析：由翻折知∠ABE＝∠EBA′＝∠A′BC. ∴∠B＋30°＋98°＝180°， ∴∠B＝78°. 答案：78 本課時(shí)考點(diǎn)常以平移、旋轉(zhuǎn)、反射為命題熱點(diǎn)，是高考新增內(nèi)容的一個(gè)亮點(diǎn)． [考題印證] 如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝2，P為線段

8、CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D.設(shè)CP＝x，△CPD的面積為f(x)，則f(x)的定義域?yàn)? ；f′(x)的零點(diǎn)是 ． [命題立意] 本題以旋轉(zhuǎn)變換與函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)關(guān)系式的求　法及定義域零點(diǎn)問題．　　[自主嘗試]　依題意得，以點(diǎn)C為圓心、AC＝2為半徑的圓與以點(diǎn)P為圓心、PB＝6－x為半徑的圓必相交， 于是有|2－(6－x)|

9、長分別是a，b，c，p＝，則△ABC的面積等于)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝－(x－3)2＋1在(2,3)內(nèi)是增函數(shù)，在(3,4)內(nèi)是減函數(shù)，因此f′(x)的零點(diǎn)是3. 答案：(2,4)　3 [對應(yīng)學(xué)生用書P3] 一、選擇題 1．將一矩形紙條， 按如圖所示折疊，則∠1＝(　　) A．64°　　　　　　　　 B．16° C．52° D．26° 解析：選C　由翻折即對稱變換知∠1＝180°－2×64°＝52°. 2．如圖，一塊等邊三角形木板ABC的邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻轉(zhuǎn)(繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn))，那么A點(diǎn)從開始到結(jié)束所走的路徑長度為(　　) A．4

10、 B．2π C． D． 解析：選D　第一次轉(zhuǎn)了120度，再轉(zhuǎn)一次120度，共轉(zhuǎn)了240度．所以，所走的長度. 3．下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合的有(　　) ①正方形，②長方形，③等邊三角形，④線段，⑤角，⑥平行四邊形． A．5個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案：D 4．如圖，四邊形EFGH是由四邊形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，則(　　) A．FG＝5，∠G＝70° B．EH＝5，∠F＝70° C．EF＝5，∠F＝70° D．EF＝5，∠E＝70° 解析：選B　平移后角和線

11、段不變，∠B與∠F對應(yīng)，線段HE與AD對應(yīng)． 二、填空題 5．圖中是邊長為1的12個(gè)小正方形所組成的網(wǎng)格，則網(wǎng)中的格點(diǎn)△ABC的面積為 ． 解析：S＝3×4－×3×3－×1×2－×1×4＝. 答案： 6．如圖，要把網(wǎng)格中的a，b，c三條線段沿著網(wǎng)格線平移后組成一個(gè)首尾相接的三角形，至少需要移動(dòng) 步(平移一格算一步)． 解析：b不動(dòng)，a平移2步，c平移3步，共平移5步． 答案：5 7．如圖，由11個(gè)面積為6的等邊三角形按下列方式排列，它們都有一邊在同一直線上，每個(gè)三角形底邊的中點(diǎn)恰為下一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)． (1)該圖案的形成過程是

12、 ． (2)由這11個(gè)三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積是 ． 解析：(1)該圖案形成的過程可看作第一個(gè)等邊三角形連續(xù)向右平移10次，每次移動(dòng)的距離為底邊長的一半． (2)由圖形知，每個(gè)正三角形由四個(gè)小正三角形構(gòu)成．其小正三角形面積為＝1.5，故這11個(gè)三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積是34×＝51. 答案：(1)將第一個(gè)等邊三角形連續(xù)向右平移10次，每次移動(dòng)的距離為底邊長的一半　(2)51 8．如圖已知線段DE由線段AB平移而得，

13、AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，則△DCE的周長是 cm. 解析：由平移的特征知： DE＝AB＝4. ∴△DCE的周長為4＋4＋5＝13 (cm)． 答案：13 三、解答題 9．如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的方桌布圖案的一部分，請你運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的方法，在坐標(biāo)紙上將該圖形繞原點(diǎn)順時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°并畫出它在各象限內(nèi)的圖形，你會(huì)得到一個(gè)美麗的“立體圖形”，你來試一試吧！但是涂陰影時(shí)要注意利用旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)，不要涂錯(cuò)了位置，否則不會(huì)出現(xiàn)理想的效果，你來試一試吧！ 解：如圖所示： 10．如圖，根據(jù)要求答題：

14、 (1)要選用A，B，C中的一種瓷磚將上圖中的空白部分全部覆蓋，應(yīng)選用哪一種？并在圖①中畫出你的鋪法． (2)如果可以選擇其中的兩種，你還可以怎樣鋪？(在圖②中畫出你的鋪法) (3)三種瓷磚單價(jià)如下：A.8元，B. 6元，C.9元5角，從經(jīng)濟(jì)的角度考慮，選擇哪一種方案較省錢？ 解：(1)選A種．　　　　　　　(2) 　　 (3)選擇B，C兩種瓷磚較省錢． 11．如圖，在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形圖案． (1)請你畫出此圖案繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°的圖案，你會(huì)得到一個(gè)美麗的圖案，千萬不要將陰影位置涂錯(cuò)； (2)若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)依次為A1，A2，A3，求四邊形AA1A2A3的面積； (3)設(shè)AB＝a，BC＝b，CA＝c，則這個(gè)美麗圖案能夠說明一個(gè)著名結(jié)論的正確性，請寫出這個(gè)結(jié)論． 解：(1)如圖所示： (2)S＝×＝34. (3)勾股定理：c2＝a2＋b2. 9