2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 習(xí)題課 綜合法和分析法學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 習(xí)題課 綜合法和分析法 明目標(biāo)、知重點(diǎn) 加深對(duì)綜合法、分析法的理解,應(yīng)用兩種方法證明數(shù)學(xué)問題. 1.綜合法 綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題.綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法. 綜合法的證明步驟用符號(hào)表示是:P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論) 2.分析法 分析法是指從需證的問題出發(fā),分析出使這個(gè)問題成立的充分條件,使問題轉(zhuǎn)化為判定那些條件是否具備,其特點(diǎn)可以描述為“執(zhí)果索因”,即從未知看需知,逐步靠攏已知.分析法的書寫形式一般為“因

2、為……,為了證明……,只需證明……,即……,因此,只需證明……,因?yàn)椤闪?,所以……,結(jié)論成立”. 分析法的證明步驟用符號(hào)表示是:P0(已知)?…?Pn-2?Pn-1?Pn(結(jié)論) 分析法屬邏輯方法范疇,它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過程步步可逆. 題型一 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明不等式 例1 設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長(zhǎng),I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證:3S≤I2<4S. 證明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca =a2+b2+c2+2S. 欲證3S≤I2<4S, 即證ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca. 先證明ab+

3、bc+ca≤a2+b2+c2, 只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,顯然成立; 再證明a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca, 只需證a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0, 即a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0, 只需證a

4、主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式,其中常用的有如下幾個(gè): (1)a2≥0(a∈R). (2)(a-b)2≥0(a、b∈R),其變形有a2+b2≥2ab,()2≥ab,a2+b2≥. (3)若a,b∈(0,+∞),則≥,特別地+≥2. (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 跟蹤訓(xùn)練1 已知a,b是正數(shù),且a+b=1,求證:+≥4. 證明 方法一 ∵a,b是正數(shù)且a+b=1, ∴a+b≥2,∴≤,∴+==≥4. 方法二 ∵a,b是正數(shù),∴a+b≥2>0, +≥2>0, ∴(a+b)(+)≥4. 又a+b=1,∴+≥4. 方法三 +=+=1++

5、+1≥2+2 =4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”號(hào). 題型二 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明等式 例2 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,對(duì)應(yīng)的三邊為a,b,c,求證:+=. 證明 要證原式,只需證+=3, 即證+=1,即只需證=1, 而由題意知A+C=2B, ∴B=,∴b2=a2+c2-ac, ∴= ==1, ∴原等式成立,即+=. 反思與感悟 綜合法推理清晰,易于書寫,分析法從結(jié)論入手易于尋找解題思路.在實(shí)際證明命題時(shí),常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用,稱為分析綜合法,其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P(yáng);若

6、由P可推出Q,即可得證. 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,非零實(shí)數(shù)x,y分別為a與b,b與c的等差中項(xiàng),試證:+=2. 證明 由已知條件得 b2=ac,① 2x=a+b,2y=b+c.② 要證+=2, 只要證ay+cx=2xy, 只要證2ay+2cx=4xy. 由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc, 4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc, 所以2ay+2cx=4xy.命題得證. 題型三 立體幾何中位置關(guān)系的證明 例3 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠

7、ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn). (1)證明:CD⊥AE; (2)證明:PD⊥平面ABE. 證明 (1)在四棱錐P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC,而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°, 可得AC=PA,∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC. 由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C, 所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD, ∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AB,又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD, ∴A

8、B⊥PD,又AB∩AE=A,綜上得PD⊥平面ABE. 反思與感悟 綜合法證明線面之間的垂直關(guān)系是高考考查的重點(diǎn),利用垂直的判定定理和性質(zhì)定理可以進(jìn)行線線、線面以及面面之間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.另外,利用一些常見的結(jié)論還常??梢詫⒕€面間的垂直與平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如:兩條平行線中一條垂直于平面α,則另外一條也垂直于平面α;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行等. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求證:AF∥平面BDE; (2)求證:CF⊥平面BDE. 證明 (1)如圖,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G. 因?yàn)镋F∥AG

9、,且EF=1, AG=AC=1, 所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF∥EG. 因?yàn)镋G?平面BDE, AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE. (2)連接FG. 因?yàn)镋F∥CG,EF=CG=1, 且CE=1, 所以四邊形CEFG為菱形. 所以CF⊥EG. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形, 所以BD⊥AC. 又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD, 且平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD. 又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1.綜合法的特點(diǎn)是:從已知看可知,逐步推出未知. 2.分析法的特點(diǎn)是:從未知看需知,逐步靠攏已知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問題,但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來. 5

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