2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 3.1.1 函數(shù)的平均變化率 3.1.2 瞬時速度與導數(shù)學案 新人教B版選修1-1

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1、3.1.1　函數(shù)的平均變化率 3.1.2　瞬時速度與導數(shù) 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.了解導數(shù)概念的實際背景，理解平均變化率和瞬時速度．(易混點) 2.會求函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x)．(重點) 3.會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在f(x)的導函數(shù)f′(x)．(難點) 1.由實際背景變化率到導數(shù)的概念，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng). 2.通過利用定義求函數(shù)在某點處導數(shù)的學習提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng). 1．函數(shù)的平均變化率 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比． (3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)

2、間[x1，x2]上變化的快慢． (4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率＝表示割線P1P2的斜率． 思考1：觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變化率＝表示什么？ [提示]　表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． 2．瞬時變化率 (1)物體運動的瞬時速度 設物體運動的路程與時間的關系是s＝f(t)，當t0到t0＋Δt時，當Δt趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率為趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度． (2)函數(shù)的瞬時變化率 設函數(shù)y＝

3、f(x)在x0附近有定義，當自變量在x＝x0附近改變Δx時，函數(shù)值相應地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當Δx趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0處的瞬時變化率． 3．函數(shù)在某一點處的導數(shù)與導函數(shù) (1)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ . (2)導函數(shù)定義 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x導數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導，這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應一個確定的導數(shù)f(x)，于是在區(qū)

4、間(a，b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)．記為f′(x)(或y′x、y′)． (3)函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 思考2：f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？ [提示]　f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導數(shù)，是一個確定的值．f′(x)是f(x)的導函數(shù)，它是一個函數(shù)．f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為(　　) A．0.40　　 B．0.41

5、 C．0.43 D．0.44 B　[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知選B.] 2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于 (　　) A．4　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C　[＝＝＝4＋2Δx.] 3．質(zhì)點按規(guī)律s(t)＝at＋1運動，若t＝2時刻的瞬時速度為，則a的值為________． 　[ ＝a＝] 函數(shù)的平均變化率 【例1】　(1)已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：當x1＝4，x2＝5時，函數(shù)增量Δy和平均變化率； ②求：當

6、x1＝4，x2＝4.1時，函數(shù)增量Δy和平均變化率. (2)求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，哪一點附近的平均變化率最大？ [解]　(1)因為f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝＝2Δx＋4x1＋3. ①當x1＝4，x2＝5時，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21. ②當x1＝4，x2＝4.1時，Δx＝0.1， Δy＝2(

7、Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當Δx＝時，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1

8、(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則＝________. (2)如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． (1)Δx　(2)　　[(1)＝ ＝ ＝Δx. (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為 ＝＝. 由函數(shù)f(x)的圖象知， f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為 ＝＝.] 導數(shù)的定義及求函數(shù)在某點處的導數(shù) 【例2】　(1)若 ＝k，則 等于(　　

9、) A．2k　 B．k C．k D．以上都不是 (2)求函數(shù)y＝在x＝1處的導數(shù)． [思路探究]　(1)嚴格按照導數(shù)定義推導求解． (2) (1)A　[∵ ＝k， ∴ ＝ ， ＝2 ＝2k.] (2)法一：(定義法)Δy＝－1， ∴＝＝， ∴當Δx無限趨近于0時，＝趨近于， 即y＝在x＝1處的導數(shù)是. ∴y′|x＝1＝. 法二：(求導函數(shù)的函數(shù)值法) Δy＝－＝， ＝， ∴當Δx無限趨近于0時，＝趨近于， ∴當x＝1時導函數(shù)值為，即y′|x＝1＝. (1)用導數(shù)定義求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的步驟： ①求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋

10、Δx)－f(x0)； ②求平均變化率＝；,③取極限，得導數(shù)f′(x0)＝. (2)求函數(shù)在某點處的導數(shù)，還可以先求出函數(shù)的導數(shù)，再計算此點處的導數(shù)值. 提醒：可以簡記為：一差、二比、三極限. 2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. [解]　∵f′(x0)＝ ＝ (6x0＋3Δx)＝6x0， 又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1. 求物體運動的瞬時速度 [探究問題] 1．平均變化率與瞬時變化率有什么聯(lián)系？ [提示]　①區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1到x2這一段上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢． ②聯(lián)系：當

11、Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值． 2．Δx趨近于0的含義是什么？ [提示]　Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0. 3．導數(shù)與瞬時變化率有什么關系？ 提示：導數(shù)是函數(shù)在x0及其附近函數(shù)的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比的極限，它是一個局部性的概念，若 存在，則函數(shù)y＝f(x)在x0處有導數(shù)，否則不存在導數(shù)． 【例3】　某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度． [思路探究]　→→ [解]　

12、∵＝ ＝ ＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物體在t＝1 s處的瞬時變化率為3， 即物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s. 1．(變結(jié)論)若本例條件不變，試求物體的初速度． [解]　∵＝ ＝ ＝1＋Δt， ∴ ＝ (1＋Δt)＝1. ∴物體在t＝0處的瞬時變化率為1， 即物體的初速度為1 m/s. 2．(變結(jié)論)若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻瞬時速度為9 m/s. [解]　設物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s， ∵＝＝2t0＋1＋Δt， ∴ ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. 則2t0＋1＝9，∴t0＝4. 則物體在4 s時的瞬

13、時速度為9 m/s. (1)不能將物體的瞬時速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時變化率是導致無從下手解答本題的常見問題. (2)求運動物體瞬時速度的三個步驟 ①求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). ②求平均速度＝. ③求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝s′(t0). 1．思考辨析 (1)函數(shù)在某一點的導數(shù)與Δx的正、負無關． (　　) (2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量． (　　) (3)在導數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零． (　　) [提示]　(1)√　(2)×　(3)

14、× 2．一質(zhì)點的運動方程是s＝4－2t2，則在時間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應的平均速度為(　　) A．2Δt＋4　　　　 B．－2Δt－4 C．4 D．－2Δt2－4Δt B　[＝＝＝－2Δt－4.] 3．如果某物體做運動方程為s＝2(1－t2)的直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，那么它在1.2 s末的瞬時速度為(　　) A．－0.88 m/s B．0.88 m/s C．－4.8 m/s D．4.8 m/s C　[在1.2 s時的瞬時速度即為s在t＝1.2處的導數(shù)，由于s′(t0)＝ ＝－4t0， 所以s′(1.2)＝－4×1.2＝－4.8(m/s)．] 4．當h無限趨近于0時， ＝________. 6　[ ＝ ＝ (6＋h)＝6.] 5．求函數(shù)y＝在x＝1處的導數(shù)． [解]　Δy＝－1＝＝， ＝－， 所以函數(shù)在x＝1處的導數(shù) ＝－1. - 9 -