2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考綱傳真了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f (x)0，則f(x)在這個區(qū)間上是增加的；(2)若f (x)0，則f(x)在這個區(qū)間上是減少的；(3)若f (x)0，則f(x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)1在某區(qū)間內(nèi)f (x)>0(f (x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對任意x(a，b)，都有f (x)0(f (x)0)，且f (x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f (x)>0()(2)如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f (x)0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性()(3)f (x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件()(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上滿足f (x)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是減函數(shù)()答案(1)×(2)(3)×(4)×2f(x)x36x2的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af (x)3x212x3x(x4)，由f (x)<0，得0<x<4，遞減區(qū)間為(0,4)3(教材改編)如圖所示是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖像，則下列判斷中正確的是()A函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,0)上是減函數(shù)B函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)C函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)D函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù)A當x(3,0)時，f (x)0，則f(x)在(3,0)上是減函數(shù)其他判斷均不正確4(教材改編)函數(shù)f(x)cos xx在(0，)上的單調(diào)性是()A先增后減B先減后增C增函數(shù)D減函數(shù)Df (x)sin x1，又x(0，)，所以f (x)0，因此f(x)在(0，)上是減函數(shù)，故選D.5已知f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_(，3f (x)3x2a，由題意知f (x)0，即a3x2對x1，)恒成立又當x1，)時，3x23，所以a3.不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)yx2ln x的遞減區(qū)間為()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)B函數(shù)yx2ln x的定義域為(0，)，yx，令y0，得0x1，所以遞減區(qū)間為(0,1)，故選B2已知函數(shù)f(x)xln x，則f(x)()A在(0，)上遞增B在(0，)上遞減C在上遞增D在上遞減D因為函數(shù)f(x)xln x，定義域為(0，)，所以f (x)ln x1(x0)，當f (x)0時，解得x，即函數(shù)的遞增區(qū)間為；當f (x)0時，解得0x，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選D.3已知定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)f(x)xsin xcos x，則f(x)的遞增區(qū)間是_和f (x)sin xxcos xsin xxcos x，令f (x)xcos x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為和，即f(x)的遞增區(qū)間為和.規(guī)律方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f (x)；(3)在定義域內(nèi)解不等式f (x)0，得遞增區(qū)間；(4)在定義域內(nèi)解不等式f (x)0，得遞減區(qū)間易錯警示：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要先確定函數(shù)的定義域，否則極易出錯(2)個別導(dǎo)數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如函數(shù)f(x)x3，f (x)3x20(x0時，f (x)0)，但f(x)x3在R上是增函數(shù)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性【例1】討論函數(shù)f(x)(a1)ln xax21的單調(diào)性解f(x)的定義域為(0，)，f (x)2ax.當a1時，f (x)0，故f(x)在(0，)上遞增；當a0時，f (x)0，故f(x)在(0，)上遞減；當0a1時，令f (x)0，解得x，則當x時，f (x)0；當x時，f (x)0，故f(x)在上遞減，在上遞增規(guī)律方法解決含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題應(yīng)注意兩點(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點 (1)已知函數(shù)f(x)x3x2ax1(aR)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解f (x)x22xa開口向上，44a4(1a)當1a0，即a1時，f (x)0恒成立，f(x)在R上遞增當1a0，即a1時，令f (x)0，解得x11，x21，令f (x)0，解得x1或x1；令f (x)0，解得1x1，所以f(x)的遞增區(qū)間為(，1)和(1，)；f(x)的遞減區(qū)間為(1，1)綜上所述：當a1時，f(x)在R上遞增；當a1時，f(x)的遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，f(x)的遞減區(qū)間為(1，1)(2)已知函數(shù)f(x)ex(ax22x2)(a0)求f(x)的區(qū)間解由題意得f (x)exax2(2a2)x(a0)，令f (x)0，解得x10，x2.當0a1時，f(x)的遞增區(qū)間為(，0)和，遞減區(qū)間為；當a1時，f(x)在(，)內(nèi)遞增；當a1時，f(x)的遞增區(qū)間為和(0，)，遞減區(qū)間為.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考法1比較大小【例2】(2019·莆田模擬)設(shè)函數(shù)f (x)是定義在(0,2)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)f(2x)，當0x時，若f(x)sin xf (x)cos x0，af ，b0，cf ，則()AabcBbcaCcbaDcabA由f(x)f(2x)，得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x對稱，令g(x)f(x)cos x，則g(x)f (x)cos xf(x)·sin x0，所以當0x時，g(x)在(0，)內(nèi)遞增，所以gggg，即abc，故選A考法2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】(1)(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)若f(a1)f(2a2)0，則實數(shù)a的取值范圍是_因為f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函數(shù)因為f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因為f (x)3x22exex3x2223x20，所以f(x)在R上遞增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.(2)已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上遞減，求a的取值范圍解h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在遞減區(qū)間，所以當x(0，)時，ax20有解，即a有解設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1，所以a1，即a的取值范圍為(1，)由h(x)在1,4上遞減得，當x1,4時，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因為x1,4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，即a的取值范圍是.規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f (x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f (x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題 (1)已知函數(shù)yf(x)對任意的x滿足f (x)cos xf(x)sin x0(其中f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是()Af f Bf f Cf(0)2f Df(0)f (2)已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()ABCD(1)A(2)C(1)令g(x)，則g(x)0，即g(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有g(shù)g，即，即2f f .即f f ，故選A(2)f (x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由題意知當x1,1時，f (x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，則有即解得a，故選C1(2016·全國卷)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上遞增，則a的取值范圍是()A1,1BCDC取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f (x)1cos 2xcos x，但f (0)110，不具備在(，)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C2(2018·全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)aexln x1.設(shè)x2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間解f(x)的定義域為(0，)，f (x)aex.由題設(shè)知，f (2)0，所以a.從而f(x)exln x1，f (x)ex.當0<x<2時，f (x)<0；當x>2時，f (x)>0.所以f(x)在(0,2)上是減少的，在(2，)上是增加的3(2017·全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x.討論f(x)的單調(diào)性解函數(shù)f(x)的定義域為(，)，f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上遞增若a0，則由f (x)0得xln a.當x(，ln a)時，f (x)0；當x(ln a，)時，f (x)0.故f(x)在(，ln a)上遞減，在(ln a，)上遞增若a<0，則由f (x)0得xln.當x時，f (x)0；當x時，f (x)0.故f(x)在上遞減，在上遞增綜上所述，若a0時，f(x)在(，)上遞增若a0時，f(x)在(，ln a)上遞減，在(ln a，)上遞增若a0時，f(x)在上遞減，在上遞增- 9 -