2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法考綱傳真1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和解析法3an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an4數(shù)列的分分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)，一般可以利用數(shù)列的單調(diào)性，即用(n2，nN*)或(n2，nN*)求解，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或利用數(shù)形結(jié)合思想求解基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列()(2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的()(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()答案(1)×(2)×(3)×(4)2已知數(shù)列，下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是()A.BC.DB該數(shù)列的通項(xiàng)an，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A15 B16 C49 D64Aa8S8S7827215.故選A.4(教材改編)在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于()A. B C. DDa11，a21112；a311；a41123；a511.5根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an_.5n4an是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，an1(n1)×55n4.由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.當(dāng)n1時(shí)，a1S13.又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n3n.an2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an_.(2)n1由Snan得當(dāng)n2時(shí)，Sn1an1，anSnSn1anan1.即an2an1，(n2)又a1S1a1，a11.數(shù)列an是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an(2)n1.3已知數(shù)列an滿足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.解設(shè)a12a23a34a4nanTn，當(dāng)n1時(shí)，a1T13×122×112，當(dāng)n2時(shí)，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an規(guī)律方法已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替換Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式(3)看a1是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段的形式易錯(cuò)警示：利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n1致誤由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)a12，an1an3n2(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1×(3×11)2符合公式，ann2.(2)當(dāng)n2，nN*時(shí)，ana1××××1××××××n，當(dāng)n1時(shí)，也符合上式，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.規(guī)律方法由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為ank為等比數(shù)列易錯(cuò)警示：本題(1)，(2)中常見的錯(cuò)誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式 (1)在數(shù)列an中，a12，an1anln，則an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)若a11，an13an3n1，則an_.(1)A(2)n·3n2·3n1(1)an1anlnln，a2a1ln，a3a2ln，anan1ln，n2，a2a1a3a2anan1lnln n，ana1ln nan2ln n(n2)將n1代入檢驗(yàn)有a12ln 12與已知符合，故an2ln n.(2)因?yàn)閍n13an3n1，所以1，所以1，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以(n1)n，所以ann·3n2·3n1.數(shù)列的性質(zhì)【例2】(1)已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 018()A1BC1D2(2)已知數(shù)列an滿足：a11，an1(nN*)，若bn1(n)，b1，且數(shù)列bn是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(2，) B(3，)C(，2) D(，3)(3)已知數(shù)列an滿足an(nN*)，則數(shù)列an的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)(1)D(2)C(3)5(1)由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018a3×6722a22.(2)由an1，知1，即12，所以數(shù)列是首項(xiàng)為12，公比為2的等比數(shù)列，所以12n，所以bn1(n)·2n，因?yàn)閿?shù)列bn是遞增數(shù)列，所以bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10對一切正整數(shù)n恒成立，所以n1，因?yàn)閚N*，所以2，故選C.(3)因?yàn)閍n，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)必為an0，即0,3n160，從而n.又nN*，所以當(dāng)n5時(shí)，an的值最小規(guī)律方法1.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值2判斷數(shù)列單調(diào)性的二種方法(1)作差比較法：比較an1an與0的大小(2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號3求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最小項(xiàng) (1)已知an，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列B遞增數(shù)列C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列(2)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(n1)·n，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第_項(xiàng)(3)若ann2kn4且對于nN*，都有an1an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(1)B(2)9或10(3)(3，)(1)an1，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，nN*，易知an是遞增數(shù)列(2)an1an(n2)n1(n1)nn×，當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)(3)由an1an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又通項(xiàng)公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，k3.1(2018·全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.63因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n1時(shí)，a12a11，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1，所以S663.2(2015·全國卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.3(2014·全國卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.an1，a82，a7，a61，a52，an是周期為3的數(shù)列，a8a3×22a22.而a2，a1.- 8 -