2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab.2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號且不為零)；(3)ab (a，bR)；(4)(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果xy是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)重要不等式鏈若ab0，則ab.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx的最小值是2()(2)函數(shù)f(x)cos x，x的最小值等于4()(3)x>0，y>0是2的充要條件()(4)若a>0，則a3的最小值為2()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80 B77C81D82Cxy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時，等號成立故選C3若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2abBab2C>D2Da2b22ab(ab)20，A錯誤；對于B，C，當(dāng)a<0，b<0時，明顯錯誤對于D，ab>0，22.4若x1，則x的最小值為_5x(x1)1215，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時等號成立5若實數(shù)x，y滿足xy1，則x22y2的最小值為_2由xy1得x22y222.當(dāng)且僅當(dāng)x22y2時等號成立利用基本不等式求最值考法1直接法或配湊法求最值【例1】(1)(2018·天津高考)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_(2)已知x，則f(x)4x2的最大值為_(1)(2)1(1)由題知a3b6，因為2a0,8b0，所以2a2×2×，當(dāng)且僅當(dāng)2a，即a3b，a3，b1時取等號(2)因為x，所以54x0，則f(x)4x2323231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.考法2常數(shù)代換法求最值【例2】已知a0，b0，ab1，則的最小值為_4因為ab1，所以(ab)222224.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立拓展探究(1)若本例條件不變，求的最小值；(2)若將本例條件改為a2b3，如何求解的最小值解(1)·52549.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(2)因為a2b3，所以ab1.所以121.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立規(guī)律方法利用基本不等式求最值的三種思路利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有三種思路：(1)利用基本不等式直接求解(2)對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等(3)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值 (1)若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A1B1C3D4(2)(2018·平頂山模擬)若對于任意的x0，不等式a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()AaBaCaDa(3)已知正實數(shù)x，y滿足2xy2，則的最小值為_(1)C(2)A(3)(1)當(dāng)x>2時，x2>0，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x>2)，即x3時取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時，即a3，選C(2)由x0，得，當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立則a，故選A(3)正實數(shù)x，y滿足2xy2，則(2xy)，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號的最小值為.基本不等式的實際應(yīng)用【例3】某廠家擬定在2018年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m0)萬元滿足x3(k為常數(shù))如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解(1)由題意知，當(dāng)m0時，x1(萬件)，所以13kk2，所以x3，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，所以2018年的利潤y1.5x×816xm29(m0)(2)因為m0，(m1)28，所以y82921，當(dāng)且僅當(dāng)m1m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家2018年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元規(guī)律方法利用基本不等式解決實際問題的3個注意點(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解 經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，第t天(1t30，tN*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿足f(t)4，而人均消費g(t)(元)近似地滿足g(t)120|t20|.(1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬元)與時間t(1t30，tN*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)(2)當(dāng)t1,20時，4014t4012441(t5時取最小值)當(dāng)t(20,30時，因為W(t)5594t遞減，所以t30時，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30時，W(t)的最小值為441萬元- 7 -