2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程考綱傳真1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為0°180°.2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°，則斜率ktan ，當(dāng)90°時(shí)，直線斜率不存在(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0，A2B20平面內(nèi)所有直線都適用牢記傾斜角與斜率k的關(guān)系(1)當(dāng)且由0增大到時(shí)，k的值由0增大到.(2)當(dāng)時(shí)，k也是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在此區(qū)間內(nèi)由增大到()時(shí)，k的值由趨近于0(k0)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(4)過定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)2(教材改編)若過點(diǎn)M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1B4C1或3D1或4A由題意得1，解得m1.3直線xya0的傾斜角為()A30° B60° C150° D120°B設(shè)直線的傾斜角為，則tan ，0°180°，60°.4(教材改編)經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()Axy2Bxy1Cx1或y1Dxy2或xyD若直線過原點(diǎn)，則直線為yx，符合題意，若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線為1，代入點(diǎn)(1,1)，解得m2，直線方程整理得xy20，故選D5如果A·C<0且B·C<0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C由已知得直線AxByC0在x軸上的截距>0，在y軸上的截距>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限直線的傾斜角和斜率1(2019·石家莊模擬)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A.B.C DB由直線方程可得該直線的斜率為，又10，所以傾斜角的取值范圍是.2若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為_4因?yàn)閗AC1，kABa3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a31，即a4.3直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_(，1，)如圖，kAP1，kBP，k(，1，)規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是0，)，根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論易錯(cuò)警示：由直線的斜率k求傾斜角的范圍時(shí)，要對(duì)應(yīng)正切函數(shù)的圖像來確定，要注意圖像的不連續(xù)性直線的方程【例1】根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設(shè)知橫截距與縱截距都不為0，設(shè)直線方程為1，又直線過點(diǎn)(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.規(guī)律方法在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況 一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_x2y20或2xy20設(shè)所求直線的方程為1.A(2,2)在直線上，1.又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程直線方程的綜合應(yīng)用【例2】過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|OA|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程解設(shè)直線l：1(a0，b0)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)a8，b2時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)a8，b2時(shí)，AOB的面積最小，此時(shí)直線l的方程為1，即x4y80.(2)因?yàn)?，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)·5529，當(dāng)且僅當(dāng)a6，b3時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|OA|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為1，即x2y60.規(guī)律方法與直線方程有關(guān)的最值問題的解題思路(1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y；(2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值 已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值解由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a4，當(dāng)a時(shí)，四邊形的面積最小，故實(shí)數(shù)a的值為.- 6 -