2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第1課時(shí)）直線與圓錐曲線教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第八節(jié)圓錐曲線的綜合問題考綱傳真1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0，圓錐曲線C：F(x，y)0，由消去y得到關(guān)于x的方程ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線l與圓錐曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)；0直線l與圓錐曲線C有一個(gè)公共點(diǎn)；0直線l與圓錐曲線C有零個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線當(dāng)C為雙曲線時(shí)，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點(diǎn)有1個(gè)或0個(gè)當(dāng)C為拋物線時(shí)，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點(diǎn)有1個(gè)2圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|·|y1y2|·.過一點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)過橢圓外一點(diǎn)總有兩條直線與橢圓相切；過橢圓上一點(diǎn)有且只有一條直線與橢圓相切；過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與橢圓相交(2)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點(diǎn)總有兩條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條與對稱軸平行或重合的直線基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)()(3)過拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)的弦中最短弦的弦長是2p()(4)若拋物線上存在關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)，則l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)()答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定A直線yk(x1)1恒過定點(diǎn)(1,1)，又點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交3“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A直線與雙曲線相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，但直線與雙曲線相交時(shí)，也可能有一個(gè)公共點(diǎn)，例如：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)故選A4過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_條3結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x0，過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0). 5(教材改編)已知與向量v(1,0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_4由題意可設(shè)直線l的方程為ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即當(dāng)m0時(shí)，|AB|有最小值4.第1課時(shí)直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1過拋物線y22x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條B有且只有兩條C有且只有三條D有且只有四條B設(shè)該拋物線焦點(diǎn)為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|AF|FB|xAxBxAxB13>2p2.所以符合條件的直線有且只有兩條2若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am>1Bm>0C0<m<5且m1Dm1且m5D由于直線ykx1恒過點(diǎn)(0,1)，所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0<1且m5，故m1且m5.3若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是()ABCDD由得(1k2)x24kx100.設(shè)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則解得k1，即k的取值范圍是.規(guī)律方法 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法代數(shù)法即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)幾何法即畫出直線與圓錐曲線的圖像，根據(jù)圖像判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)弦長問題考法1與弦長有關(guān)的問題【例1】斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2BCDC設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.考法2中點(diǎn)弦問題【例2】已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A1B1C1D1D 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線AB的斜率為k，設(shè)直線方程為y(x3)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因?yàn)閍2b29，解得b29，a218，方程為1.考法3與弦長有關(guān)的綜合問題【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1(ab0)的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，AB4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|CD|，求直線AB的方程解(1)由題意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以橢圓方程為1.(2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|CD|7，不滿足條件當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y(x1)將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，則x1x2，x1·x2，所以|AB|x1x2|·.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k±1，所以直線AB的方程為xy10或xy10.規(guī)律方法求解弦長的四種方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求解(3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(x1x2)2，(y1y2)2，代入兩點(diǎn)間的距離公式(4)當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長 設(shè)橢圓M：1(ab0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線yx1交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P(1，)為橢圓M上一點(diǎn)，求PAB的面積解(1)由題可知，雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率e，由2a4，b2a2c2，得a2，c，b，故橢圓M的方程為1.(2)聯(lián)立方程得4x22x30，且所以|AB|x1x2|··.又P到直線AB的距離為d，所以SPAB|AB|·d··.- 7 -