2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行： ①對于兩條不重合的直線l1：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2(b1≠b2)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②對于直線l1：x＝a，直線l2

2、：y＝b，則有l(wèi)1⊥l2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解． 3．三種距離公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離 |P1P2|＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．直線系方程 (1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0. 2．兩直線平行或重合的充要條

3、件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0. 3．兩直線垂直的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0. 4．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5．與對稱問題相關(guān)的兩個結(jié)論 (1)點P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0,2b－y0)； (2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝k

4、x＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

5、2．(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為(　　) A.　　　　 B．2－ C．－1　 D．＋1 C　[由題意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.] 3．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于(　　) A．2　　　　B．－3 C．2或－3　　　D．－2或－3 C　[直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有＝≠，故m＝2或－3.故選C．] 4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________． 2　[由題意

6、知a·1－2(3－a)＝0，解得a＝2.] 5．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________． 　[先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，則兩平行線間的距離為d＝＝.] 兩條直線的平行與垂直 1．(2019·梅州月考)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[當(dāng)a＝1時，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充

7、分不必要條件．] 2．已知經(jīng)過點A(－2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為________． 1或0　[l1的斜率k1＝＝a.當(dāng)a≠0時，l2的斜率k2＝＝.因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.當(dāng)a＝0時，P(0，－1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.] [規(guī)律方法]　解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想” — ↓ 易錯警示：當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一

8、般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件． 兩條直線的交點與距離問題 【例1】　(1)求經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________. (2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得∴l(xiāng)1與l2的交點坐標為(1,3)． 設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0， 則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

9、 ∴所求直線方程為x＋2y－7＝0. (2)法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－， 直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過AB中點時，AB的中點為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] [規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點的直

10、線方程的方法 求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程． 2．處理距離問題的兩大策略 (1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求． (2)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算． (1)當(dāng)0

11、　　　B.　　　　C．　　　　D． (1)B　(2)C　[(1)由得 又∵00，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在第二象限． (2)因為＝≠，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為.] 對稱問題 ?考法1　點關(guān)于點的對稱問題 【例2】　(2018·泉州模擬)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________． x＋4y－

12、4＝0　[設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.] ?考法2　點關(guān)于直線的對稱問題 【例3】　如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是(　　) A．3 B．6 C．2 D．2 C　[直線AB的方程為x＋y＝4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(

13、－2,0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝＝2.] ?考法3　直線關(guān)于直線的對稱問題 【例4】　(2019·鄭州模擬)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是(　　) A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 A　[設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為P′(x0，y0)， 由得 由點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.] [規(guī)律方法]　解決兩類對稱問題的關(guān)鍵 解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱

14、問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關(guān)鍵要抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解． 已知直線l：3x－y＋3＝0，求： (1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點； (2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程； (3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線． [解]　(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.① 又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上， ∴3×－＋3＝0.② 由①②得 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7)． (2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y， 得關(guān)于l對稱的直線方程為－－2＝0， 化簡得7x＋y＋22＝0. (3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)， 關(guān)于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)， ∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)． l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3， ∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0. - 7 -