2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第五節(jié)三角恒等變換考綱傳真1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系4能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin ；(2)cos(±)cos cos sin sin ；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.1公式T(±)的變形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)tan tan tan()(1tan tan )2公式C2的變形：(1)sin2(1cos 2)；(2)cos2(1cos 2)3公式逆用：(1)sincos；(2)sincos；(3)sincos.4輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，特別的sin ±cos sin；sin ±cos 2sin；sin ±cos 2sin.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)存在實(shí)數(shù)，使等式sin()sin sin 成立()(2)在銳角ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小關(guān)系不確定()(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對(duì)任意角，都成立()(4)函數(shù)y3sin x4cos x的最大值為7()答案(1)(2)×(3)×(4)×2(教材改編)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()ABCDDsin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°，故選D3(教材改編)已知cos ，是第三象限角，則cos的值為()A B C DA由cos ，是第三象限角知sin ，則coscoscos sinsin ××.故選A4已知sin()，則cos 2_.由sin()，得sin ，則cos 212sin212×.5(教材改編)_.tan 30°. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1已知sincos，則tan ()A1 B0CD1A因?yàn)閟incos，所以cos sin cos sin .所以cos sin .所以tan 1，故選A2計(jì)算的值為()A B C DB.3已知，且sin cos ，則()A B C DD由sin cos 得sin，因?yàn)?，所?，所以cos.2cos.4已知0，則_.cos 原式.因?yàn)?，所以0，所以cos 0.所以原式cos .規(guī)律方法1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則2三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次三角函數(shù)式的求值考法1給值求值【例1】(1)(2018·全國(guó)卷)若sin ，則cos 2()A B C D(2)(2019·太原模擬)已知角是銳角，若sin，則cos等于()ABCD(3)若，是銳角，且sin sin ，cos cos ，則tan()_.(1)B(2)A(3)(1)cos 212sin212×2.故選B(2)由0得又sin，coscoscoscoscossinsin××，故選A(3)因?yàn)閟in sin ，cos cos ，兩式平方相加得：22cos cos 2sin sin ，即22cos()，所以cos()，因?yàn)?、是銳角，且sin sin 0，所以0.所以0.所以sin().所以tan().考法2給角求值【例2】(1)tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°_.(2)sin 50°(1tan 10°)_.(1)(2)1(1)由tan(20°40°)得tan 20°tan 40°(1tan 20°tan 40°)原式(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40°.(2)sin 50°(1tan 10°)sin 50°sin 50°×sin 50°×1.考法3給值求角【例3】(1)若sin 2，sin()，且，則的值是()ABC或D或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，則2的值為_(kāi)(1)A(2)(1)，2.又sin 20，2，cos 2且.又，.sin()0，cos()且，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××.2，故選A(2)因?yàn)閠an tan()0，所以0，又因?yàn)閠an 20，所以02，所以tan(2)1.因?yàn)閠an 0，所以，20，所以2.規(guī)律方法三角函數(shù)求值的三種情況(1)“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應(yīng)仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角 (1)若0，0，cos，cos，則cos()A BCD(2)_.(3)(2019·長(zhǎng)春模擬)已知sin ，sin()，均為銳角，則角值是_(1)A(2)(3)(1)由0得，又cos，sin，由0得.又cos，sin.coscoscoscossinsin××.(2)原式.(3)，均為銳角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()××.三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例4】(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由已知得f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin.x，2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)有最小值，且f ，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)有最大值，且f .所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.規(guī)律方法三角恒等變換在三角函數(shù)圖像和性質(zhì)中的應(yīng)用解決此類問(wèn)題可先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)yAsin(x)t或余弦型函數(shù)yAcos(x)t的形式，再利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解 (2019·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若0，f()，求sin 2的值解(1)函數(shù)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin，函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)若0，則2，f()sin，sin，2，cos，sin 2sinsincos cossin ××.1(2017·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)sinxcos的最大值為()A B1CDA法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值.故選A法二：，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max，故選A2(2016·全國(guó)卷)若cos，則sin 2()ABCDD因?yàn)閏os，所以sin 2coscos 22cos212×1.3(2018·全國(guó)卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()ABCD1B由題意知cos >0.因?yàn)閏os 22cos21，所以cos ，sin ±，得|tan |.由題意知|tan |，所以|ab|.4(2018·全國(guó)卷)已知tan，則tan _.法一：因?yàn)閠an ，所以，即，解得tan .法二：因?yàn)閠an，所以tan tan.5(2017·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)2cos xsin x的最大值為_(kāi)f(x)2cos xsin x，設(shè)sin ，cos ，則f(x)sin(x)，函數(shù)f(x)2cos xsin x的最大值為.- 13 -