2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點(diǎn)的集合叫作雙曲線，定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a，線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y±x，離心率為e.三種常見雙曲線方程的設(shè)法(1)若已知雙曲線過(guò)兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2By21(AB<0)(2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2(0)(3)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)(4)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦長(zhǎng)為.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于()答案(1)×(2)×(3)(4)2雙曲線1的焦距為()A5BC2D1C由雙曲線1，易知c2325，所以c，所以雙曲線1的焦距為2.3(教材題改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2 B C D1D依題意，e2，2a，則a21，a1.4設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|_.17由題意知|PF1|9ac10，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為_y21由題意可得解得a2，則b1，所以雙曲線的方程為y21.雙曲線的定義及應(yīng)用1. 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()ABCDC由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.選C2若雙曲線1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12B由題意知，雙曲線1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)規(guī)律方法 雙曲線定義的兩個(gè)應(yīng)用一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程；二是在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯(lián)系雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】設(shè)雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_1 法一：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232225，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則a2b29，又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法三：設(shè)雙曲線的方程為1(27<<36)，由于雙曲線過(guò)點(diǎn)(，4)，故1，解得132，20，經(jīng)檢驗(yàn)132，20都是方程的根，但0不符合題意，應(yīng)舍去，所以32.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值與雙曲線1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值 (1)已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()A1B1Cy21Dx21(2)(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x224y的焦點(diǎn)重合，其一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1C1D1(1)D(2)B(1)由題意知，雙曲線的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，所以，由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)可得a2b24，所以|b|，即b23，所以a21，故雙曲線的方程為x21.(2)x224y，焦點(diǎn)為(0,6)，可設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)漸近線方程為y±x，其中一條漸近線的傾斜角為30°，c6，a29，b227.其方程為1.雙曲線的幾何性質(zhì)考法1求雙曲線的離心率的值(或范圍)【例2】(1)(2017·全國(guó)卷)若a>1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)(2)(2018·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()AB2 CD(1)C(2)C(1)由題意得雙曲線的離心率e.e21.a1，01，112，1e.故選C(2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a.又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.考法2雙曲線的漸近線問(wèn)題【例3】(1)(2019·合肥質(zhì)檢)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為_(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是_(1)y±x(2)x±y0(1)因?yàn)閑，所以c2a2b23a2，故ba，則此雙曲線的漸近線方程為y±x±x.(2)由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以PF1F230°，所以(2a)2(2c)2(4a)22·2c·4acos 30°，得ca，所以ba.所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x，即x±y0.考法3求雙曲線的方程【例4】已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1B由離心率為，可知ab，ca，所以F(a,0)，由題意知kPF1，所以a4，解得a2，所以雙曲線的方程為1.規(guī)律方法與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)求雙曲線的離心率或范圍依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程 (1)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(2)已知雙曲線E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_(1)A(2)2(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時(shí)n不存在故選A(2)由已知得|AB|，|BC|2c，2×3×2c.又b2c2a2，整理得2c23ac2a20，兩邊同除以a2，得2320，即2e23e20，解得e2.1(2018·全國(guó)卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±xA因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化簡(jiǎn)得2a2b2，所以.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，所以y±x.故選A2(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()AB2CD2D法一：由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為2.故選D法二：離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為2.故選D3(2017·全國(guó)卷)雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_.5雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0)，雙曲線的漸近線方程為y±x.又雙曲線的一條漸近線方程為yx，a5.- 9 -