2020版高考數學一輪復習 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例教學案 文（含解析）北師大版

第四節(jié)變量間的相關關系、統(tǒng)計案例考綱傳真1.會作兩個相關變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用1相關性(1)線性相關若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關的(2)非線性相關若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關為非線性相關的(3)不相關如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關系，則稱變量間是不相關的2最小二乘估計(1)最小二乘法如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式達到最小值的直線yabx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)線性回歸方程方程ybxa是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數3回歸分析(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心(3)相關系數rr；當r>0時，稱兩個變量正相關當r<0時，稱兩個變量負相關當r0時，稱兩個變量線性不相關4獨立性檢驗若一個2×2列聯表為：BAB1B2總計A1ababA2cdcd總計acbdnabcd則統(tǒng)計量2為：2.(1)當22.706時，可以認為變量A，B是沒有關聯的；(2)當2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯；(3)當2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯；(4)當2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯1線性回歸方程ybxa一定過樣本點的中心(，)2由回歸直線求出的數據是估算值，不是精確值基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系()(2)某同學研究賣出的熱飲杯數y與氣溫x()之間的關系，得回歸方程y2.352x147.767，則氣溫為2時，一定可賣出143杯熱飲()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗()(4)若事件A，B關系越密切，則由觀測數據計算得到的2的值越小()答案(1)(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)為調查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時，用下列哪種方法最有說服力()A回歸分析B均值與方差C獨立性檢驗D概率C“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關，應用獨立性檢驗判斷3(教材改編)已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數3，3.5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是()Ay0.4x2.3By2x2.4Cy2x9.5Dy0.3x4.4A因為變量x和y正相關，排除選項C，D又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項A滿足4下面是2×2列聯表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A94,72B52,50C52,74D74,52Ca2173，a52.又a22b，b74.5某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算27.069，則所得到的統(tǒng)計學結論是：有多少的把握認為“學生性別與支持該活動有關系”()附：P(2x0)0.1000.0500.0250.0100.001x02.7063.8415.0246.63510.828A0.1%B1% C99%D99.9%C因為7.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計學結論是：有10.0100.9999%的把握認為“學生性別與支持該活動有關系”相關關系的判斷1已知變量x和y滿足關系y0.1x1，變量y與z正相關下列結論中正確的是()Ax與y正相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y負相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關C因為y0.1x1的斜率小于0，故x與y負相關因為y與z正相關，可設zbya，b0，則zbya0.1bxba，故x與z負相關2(2019·廣州模擬)根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)的條形統(tǒng)計圖. 以下結論不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效 C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關D從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，C選項正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，D選項錯誤， 故選D3(2019·日照模擬)變量X與Y相對應的一組數據為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則()參考公式：線性相關系數rAr2r10B0r2r1Cr20r1Dr1r2C由己知中的數據可知：第一組數據正相關，則相關系數大于零，第二組數據負相關，則相關系數小于零，故選C規(guī)律方法判定兩個變量正、負相關性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(2)相關系數：r>0時，正相關；r0時，負相關(3)線性回歸方程中：b>0時，正相關；b<0時，負相關線性回歸分析及應用【例1】(2018·全國卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：y30.413.5t；根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由解(1)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y30.413.5×19226.1(億元)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y9917.5×9256.5(億元)(2)利用模型得到的預測值更可靠理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型y9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠()從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預測值更可靠規(guī)律方法線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程：利用公式，求出回歸系數b，a.待定系數法：利用回歸直線過樣本點中心求系數(2)利用回歸方程進行預測：把回歸直線方程看作一次函數，求函數值(3)利用回歸直線判斷正、負相關：決定正相關還是負相關的是系數b. (2016·全國卷)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對應年份20082014(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數據：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關系數r，回歸方程yabt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b，ab.解(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得4， (ti)228，0.55， (ti)(yi)tiyiyi40.174×9.322.89，r0.99.因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系(2)由1.331及(1)得b0.103，ab1.3310.103×40.92.所以，y關于t的回歸方程為y0.920.10t.將2016年對應的t9代入回歸方程得y0.920.10×91.82.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸獨立性檢驗及應用【例2】(2017·全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較附：P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828，2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.因此，事件A的概率估計值為0.62.(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量<50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466則215.705.由于15.7056.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關(3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法規(guī)律方法獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×2列聯表；(2)根據公式2，計算2的值；(3)查表比較2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷 (2019·合肥質檢)某校在高一年級學生中，對自然科學類、社會科學類校本選修課程的選課意向進行調查現從高一年級學生中隨機抽取180名學生，其中男生105名；在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45名(1)試問：從高一年級學生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據抽取的180名學生的調查結果，完成下面的2×2列聯表并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生女生合計附：2，其中nabcd.P(2x0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)從高一年級學生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為.(2)根據統(tǒng)計數據，可得2×2列聯表如下：選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生6045105女生304575合計9090180則25.142 95.024，所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關.(2018·全國卷)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式(3)根據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：2，P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828解(1)第二種生產方式的效率更高理由如下：()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少因此第二種生產方式的效率更高(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m80.列聯表如下：超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由于210>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異- 12 -