2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖考綱傳真1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式1旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線2.多面體的結(jié)構(gòu)特征3直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法(2)規(guī)則：在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使xOy45°，它們確定的平面表示水平平面；已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸和y軸的線段； 已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的.4三視圖(1)三視圖的畫法規(guī)則：主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)(2)畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題：首先，確定主視、俯視、左視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同其次，簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置1按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖2常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形3正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD­ABCD中被截去一部分，其中EHAD，則剩下的幾何體是()A棱臺(tái)B四棱柱C五棱柱D簡(jiǎn)單組合體C由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱3下列說(shuō)法正確的是()A相等的角在直觀圖中仍然相等B相等的線段在直觀圖中仍然相等C正方形的直觀圖是正方形D若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行D根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則知，A，B，C均不正確，故選D2某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A圓柱B圓錐C四面體 D三棱柱A由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形5以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于_2由題意得圓柱的底面半徑r1，母線l1，所以圓柱的側(cè)面積S2rl2.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1給出下列命題：(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；(2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；(3)在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；(4)存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；(5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A2 B3C4D5C(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中的三棱錐C1­ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知2以下命題：(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；(4)一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3B命題(1)錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(2)錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對(duì)；命題(4)錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以3下列結(jié)論正確的是 ()A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線DA錯(cuò)誤如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐圖圖B錯(cuò)誤如圖2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐C錯(cuò)誤由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)D正確規(guī)律方法解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系(3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略空間幾何體的三視圖考法1已知幾何體，識(shí)別三視圖【例1】(1)(2018·全國(guó)卷)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是() (2)一個(gè)三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為() (1)A(2)D(1)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形(2)由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD平面BCD，故選D考法2已知三視圖，判斷幾何體【例2】(1)(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為() A1 B2C3D4(2)(2019·鄭州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_ (1)C(2)2(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P­ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C(2)由三視圖可知該三棱錐的底面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，有一條長(zhǎng)度為2的側(cè)棱垂直于底面，所以三條側(cè)棱長(zhǎng)分別是2，2.故該三棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為2.考法3已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷另一個(gè)視圖【例3】(1)一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()(2)(2018·衡水模擬)如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是 ()(1)C(2)C(1)由三視圖中的主、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C(2)由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是，可知該幾何體的底面積是，由圖知A的面積是1，B的面積是，C的面積是，D的面積是，故選C規(guī)律方法1.已知幾何體，識(shí)別三視圖的技巧已知幾何體畫三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實(shí)虛2已知三視圖，判斷幾何體的技巧(1)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉(2)明確三視圖的形成原理，“直角本由垂線生，虛線皆因遮擋起”，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖(3)遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則(4)對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同 (1)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為() A1BCD2(2)如圖，三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1底面ABC，其主視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此三棱柱左視圖的面積為 ()A B2 C2 D4(1)C(2)B(1)由三視圖可知ADBCCDDEEB1，AEAC，AB.所以最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為.(2)其左視圖為一矩形，其寬為三棱柱底面正三角形的高所以面積S2.空間幾何體的直觀圖【例4】(1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()Aa2Ba2Ca2Da2(2)如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四邊形(1)D(2)C(1)如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由圖可知，ABABa，OCOCa，在圖中作CDAB于D，則CDOCa，所以SABCAB·CD×a×aa2，故選D(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD2OD2×24(cm)，CDCD2 cm.所以O(shè)C6(cm)，所以O(shè)AOC，故四邊形OABC是菱形，故選C規(guī)律方法1.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出2平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系對(duì)于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測(cè)畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S之間的關(guān)系SS，能更快捷地進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算 (1)(2018·襄陽(yáng)模擬)如圖所示，直觀圖四邊形ABCD是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是_(2)如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是_cm.(1)2(2)8(1)把直觀圖還原為平面圖形得：在直角梯形ABCD中，AB2，BC1，AD1，所以面積為(2)×22.(2)由題意知正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以O(shè)B cm，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為2 cm，所以原圖形中，OABC1 cm，ABOC3 cm，故原圖形的周長(zhǎng)為2×(13)8 cm.1(2018·全國(guó)卷)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A2B2C3D2B設(shè)過(guò)點(diǎn)M的高與圓柱的下底面交于點(diǎn)O，將圓柱沿MO剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM2，ON4，則從M到N的最短路徑為2.2(2017·全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12C14D16B觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示因此該多面體各個(gè)面中有2個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2××(24)×212.故選B- 12 -