2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考綱傳真1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類abi為實(shí)數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0abi為非純虛數(shù)a0且b0(3)復(fù)數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(5)復(fù)數(shù)的模：向量的模叫做復(fù)數(shù)zabi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|abi|，即|z|abi|(a，bR)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量(a，b)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.1(1±i)2±2i，i，i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)4z·|z|2|2，|z1·z2|z1|·|z2|，|zn|z|n.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi()(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小()(3)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模. ()答案(1)×(2)×(3)× (4)2.(教材改編)如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AABBCCDDB共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱3(教材改編)設(shè)mR，復(fù)數(shù)zm21(m1)i表示純虛數(shù)，則m的值為()A1B1C±1D0A由題意得，解得m1，故選A4復(fù)數(shù)()AiB1iCiD1iAi.5(教材改編)設(shè)x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，則復(fù)數(shù)zxyi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)由題意知解得則復(fù)數(shù)z42i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1(2018·全國(guó)卷)設(shè)z2i，則|z|()A0BC1DCz2i2ii，所以|z|1.2(2018·浙江高考)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A1iB1iC1iD1iB1i，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為1i，故選B3(2017·天津高考)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)2aR，i為實(shí)數(shù)，0，a2.規(guī)律方法解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的策略(1)復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即abi(a，bR)的形式，再根據(jù)題意列出實(shí)部、虛部滿足的方程(組)即可(2)求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)模的定義求解復(fù)數(shù)的運(yùn)算考法1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算【例1】(1)(2018·全國(guó)卷)(1i)(2i)()A3iB3iC3iD3i(2)(2016·全國(guó)卷)設(shè)(12i)(ai)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a()A3 B2 C2 D3(3)若a為實(shí)數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則a()A1 B0 C1 D2(1)D(2)A(3)B(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故選D(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知a212a，解得a3，故選A(3)因?yàn)?2ai)(a2i)4i，所以4a(a24)i4i.所以解得a0.故選B考法2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【例2】(1)(2018·天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_.(2)(2018·江蘇高考)若復(fù)數(shù)z滿足i·z12i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為_(kāi)(1)4i(2)2(1)4i.(2)z2i故z的實(shí)部為2.考法3復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算【例3】(1)(2019·太原模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則z的共軛復(fù)數(shù)為()Ai Bi C2i D2i(2)(2016·全國(guó)卷)若z43i，則()A1B1CiDi(3)若復(fù)數(shù)z滿足 2z32i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A12iB12iC12iD12i(1)A(2)D(3)B(1)由i得1zizi.即(1i)z1i，則zi，因此i，故選A(2)z43i，43i，|z|5，i.(3)設(shè)zabi(a，bR)，則abi，所以2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，所以解得所以z12i，故選B規(guī)律方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題時(shí)要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答 (1)(2019·合肥模擬)已知i為虛數(shù)單位，則()A5B5iCiDi(2)(2019·惠州模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若(1i)2i(i為虛數(shù)單位)，則z()Ai Bi1 Ci1 Di(3)(2019·南昌模擬)設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若z2，z22i，則z()AiBiC1iD1i(1)A(2)C(3)D(1)法一：5，故選A法二：5，故選A(2)由已知可得1i，則z1i，故選C(3)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可知，當(dāng)z1i時(shí)，符合題意，故選D復(fù)數(shù)的幾何意義【例4】(1)(2018·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限 C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)(2019·鄭州模擬)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(1)D(2)B(1)i，所以的共軛復(fù)數(shù)為i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選D(2)復(fù)數(shù)(1i)(ai)a1(1a)i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a1,1a)在第二象限，故解得a1，故選B規(guī)律方法與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問(wèn)題的一般解法第一步，進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)abi與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)一一對(duì)應(yīng) (1)(2019·廣州模擬)設(shè)z1i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A12iB12iC2iD2i(1)A(2)C(1)因?yàn)閦1i，所以z2(1i)212ii22i1i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，位于第一象限，故選A(2)依題意得，復(fù)數(shù)zi(12i)2i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1)，因此點(diǎn)A(2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.1(2017·全國(guó)卷)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)CA項(xiàng)，i(1i)2i(12ii2)i×2i2，不是純虛數(shù)B項(xiàng)，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)C項(xiàng)，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)D項(xiàng)，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選C2(2017·全國(guó)卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zi(2i)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限Czi(2i)12i，復(fù)數(shù)z12i所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z(1，2)，位于第三象限故選C3(2016·全國(guó)卷)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|()A1B CD2B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|，故選B4(2015·全國(guó)卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z()A2iB2iC2iD2iC(z1)ii1，z11i，z2i，故選C- 8 -