2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理考綱傳真1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1空間圖形的公理(1)公理1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)(2)公理2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行2空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系(2)異面直線所成的角定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角范圍：.(3)定理(等角定理)空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)3空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面內(nèi)a有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面平行a沒(méi)有公共點(diǎn)直線a與平面斜交aA有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面垂直a(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)兩平面相交斜交l有一條公共直線垂直且a1公理2的三個(gè)推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線3等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)，相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線與a異面()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A30°B45°C60°D90°C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.3(教材改編)下列命題正確的是()A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C四邊形確定一個(gè)平面D兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D根據(jù)確定平面的公理和推論知選項(xiàng)D正確4已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形 一定是()A空間四邊形B矩形C菱形D正方形B四邊形的相鄰兩邊分別平行于空間四邊形的兩角對(duì)角線，故選B5已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A空間圖形的公理及其應(yīng)用【例1】(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0 B1C2D3B正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故錯(cuò)誤；中，直線b，c可能是異面直線，故錯(cuò)誤；中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故錯(cuò)誤(2)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；CE，D1F，DA三線共點(diǎn)解如圖，連接EF，CD1，A1BE，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面EFCD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)規(guī)律方法共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題的證明方法(1)證明點(diǎn)共線問(wèn)題：公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上(2)證明線共點(diǎn)問(wèn)題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)(3)證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題：納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合 (1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是 ()ABCDD根據(jù)異面直線的判定定理，選項(xiàng)D中PS與QR是異面直線，則四點(diǎn)P，Q，R，S不共面故選D(2)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)求證：D1，H，O三點(diǎn)共線證明如圖，連接BD，B1D1，則BDACO，因?yàn)锽B1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，則H平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面，b平面，c，給出下列命題：若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；若ab，則必有ac.其中真命題有_(填序號(hào))(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào))(1)(2)(1)對(duì)于，若c與a，b都不相交，則ca，cb，從而ab，這與a與b是異面直線矛盾，故正確對(duì)于，a與b可能異面垂直，故錯(cuò)誤對(duì)于，由ab可知a，又c，從而ac，故正確(2)圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG(圖略)，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖中，GH與MN異面規(guī)律方法異面直線的判定方法 (1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線(2)如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(kāi)(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)(1)C(2)(1)c與b可能相交，也可能異面，但可不能平行，故選C(2)根據(jù)兩條異面直線的判定定理知，正確異面直線所成的角【例3】(1)(2018·全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()ABCD(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，BC1，BB11，P是AB的中點(diǎn)，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A30° B45° C60° D90°(1)C(2)C(1)如圖，連接BE，因?yàn)锳BCD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即EAB不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故選C(2)取CD的中點(diǎn)Q，連接BQ，C1QP是AB的中點(diǎn)，BQPDC1BQ是異面直線BC1與PD所成的角在C1BQ中，C1BBQC1Q，C1BQ60°，即異面直線BC1與PD所成的角等于60°，故選C規(guī)律方法用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角 (1)已知P是ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若MNBC4，PA4，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A30°B45°C60°D90°(2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(kāi)(1)A(2)(1)取AC的中點(diǎn)O，連接OM，ON，則OMBC，ONPAONM就是異面直線PA與MN所成的角在OMN中，MN4，OM2，ON2，cosONM，ONM30°即異面直線PA與MN所成角的大小為30°，故選A(2)取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.1(2017·全國(guó)卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()ABCDC將直三棱柱ABC­A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD由題意知ABC120°，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60°.在ABD中，由余弦定理知BD222122×2×1×cos 60°3，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C2(2016·全國(guó)卷)平面過(guò)正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()ABCDA根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.- 11 -