2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)圓的方程考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心，半徑2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.1圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線2兩個(gè)圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程(1)同心圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中a，b為定值，r是參數(shù)；(2)半徑相等的圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0()答案(1)(2)×(3)(4)2(教材改編)已知點(diǎn)A(1，1)，B(1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()Ax2y22Bx2y2Cx2y21Dx2y24AAB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|2，所以圓的方程為x2y22.3點(diǎn)(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A點(diǎn)在圓外B點(diǎn)在圓內(nèi)C點(diǎn)在圓上D不能確定A將點(diǎn)(m2,5)代入圓方程，得m425>24.故點(diǎn)在圓外，故選A.4若x2y24x2y5k0表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()ARB(，1)C(，1D1，)B由方程x2y24x2y5k0可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圓，則55k>0，解得k<1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，1)故選B.5若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21A由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又圓與直線4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.故選A.求圓的方程1. 過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(1,1)，且圓心在xy20上的圓的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24CAB的中垂線方程為yx，所以由yx，xy20的交點(diǎn)得圓心(1,1)，半徑為2，因此圓的方程是(x1)2(y1)24，故選C2已知圓心在直線y4x上，且圓與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2)，則該圓的方程是_(x1)2(y4)28過(guò)切點(diǎn)且與xy10垂直的直線為y2x3，與y4x聯(lián)立可求得圓心為(1，4)所以半徑r2，故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.3(2018·天津高考)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_(kāi)x2y22x0法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0.圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)， 解得 圓的方程為x2y22x0.法二：畫出示意圖如圖所示，則OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x1)2y21，即x2y22x0.規(guī)律方法求圓的方程的方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 考法1斜率型最值問(wèn)題【例1】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，則的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k±.(如圖所示)所以的最大值為，最小值為.考法2截距型最值問(wèn)題【例2】已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.考法3距離型最值問(wèn)題【例3】已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3)求|MQ|的最大值和最小值；解(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.規(guī)律方法與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題 (1)如果實(shí)數(shù)x，y滿足圓(x2)2y21，那么的取值范圍是_(2)由直線yx1上的一點(diǎn)向圓x26xy280引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)(1)(2)(1)(x，y)在圓上，表示的是圓上的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1，3)連線的斜率，結(jié)合圖像(圖略)，求出過(guò)點(diǎn)(1，3)與圓相切的一條切線的斜率不存在，另一條切線斜率設(shè)為k，切線方程為kxy3k0，圓心到直線的距離等于半徑，即1，k，故取值范圍是.(2)切線長(zhǎng)的最小值在直線yx1上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得，圓心(3,0)到直線的距離為d2，圓的半徑為1，故切線長(zhǎng)的最小值為.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 【例4】已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解 已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|AB|，求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程解由題意可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(1,0)為圓心，3為半徑長(zhǎng)的圓，方程為(x1)2y29.設(shè)M(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得C(2x01,2y04)，代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x4(y02)29，化簡(jiǎn)得x(y02)2，故點(diǎn)M的軌跡方程為x2(y2)2.1(2015·全國(guó)卷)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2B8C4D10C設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C2(2015·全國(guó)卷)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)2y2由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，2)，(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.3(2017·全國(guó)卷)已知拋物線C：y22x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·1，所以O(shè)AOB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，因此·0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為.- 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