2020版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第8節(jié) 函數與方程教學案 文（含解析）北師大版

第八節(jié)函數與方程考綱傳真結合二次函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數1函數的零點(1)定義：把函數yf(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點(2)三個等價關系：方程f(x)0有實數解函數f(x)的圖像與x軸有公共點函數yf(x)有零點(3)函數零點的判定(零點存在性定理)：若函數yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)·f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內，函數yf(x)至少有一個零點2二次函數yax2bxc(a0)的圖像與零點的關系b24ac000二次函數yax2bxc (a0)的圖像與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數2101函數f(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)0”是函數f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點的充分不必要條件2若函數f(x)在區(qū)間a，b上是單調函數，且f(a)·f(b)0，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個零點基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數的零點就是函數的圖像與x軸的交點()(2)函數yf(x)，xD在區(qū)間(a，b)D內有零點(函數圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0()(3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)0，則函數f(x)在a，b上有且只有一個零點()(4)二次函數yax2bxc在b24ac0時沒有零點()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)函數f(x)ex3x的零點個數是()A0 B1C2 D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)內有零點，又f(x)為增函數，函數f(x)有且只有一個零點3下列函數中，既是偶函數又存在零點的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函數，yln x是非奇非偶函數，yx21是偶函數但沒有零點，只有ycos x是偶函數又有零點4函數f(x)3xx2的零點所在區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故選D.5函數f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是_函數f(x)的圖像為直線，由題意可得f(1)f(1)0，(3a1)·(1a)0，解得a1，實數a的取值范圍是.判斷函數零點所在的區(qū)間1若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內D(，a)和(c，)內Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函數零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點，因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內，故選A2設x0是方程的解，則x0所在的范圍是()ABCDB構造函數f(x)，因為f(0)10，f 0，f 0.所以由零點存在性定理可得函數f(x)在上存在零點，即x0，故選B3設函數y1x3與y2的圖像的交點為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_(1,2)設f(x)x3，則f(x)在R上是增函數，又f(1)1210，f(2)8170，則x0(1,2)4已知x表示不超過實數x的最大整數，g(x)x為取整函數，x0是函數f(x)ln x的零點，則g(x0)_.2f(2)ln 210，f(3)ln 30，則x0(2,3)，故g(x0)2.規(guī)律方法判斷函數零點所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當對應方程f(x)0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用函數零點的存在性定理，首先看函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，則函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點(3)圖像法：通過畫函數圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷判斷函數零點(或方程根)的個數【例1】(1)函數f(x)2x|log0.5x|1的零點個數為()A1B2C3D4(2)(2019·蘭州模擬)已知函數f(x)滿足：定義域為R；任意xR，都有f(x2)f(x)；當x1,1時，f(x)|x|1.則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內解的個數是()A5 B6C7 D8(3)函數f(x)的零點個數是_(1)B(2)A(3)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.設g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一直角坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現兩個函數圖像一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點(2)由f(x2)f(x)知函數f(x)是周期為2的函數，在同一直角坐標系中，畫出y1f(x)與y2log2|x|的圖像，如圖所示由圖像可得方程解的個數為5，故選A(3)當x0時，作函數yln x和yx22x的圖像，由圖知，當x0時，f(x)有2個零點；當x0時，令x220，解得x(正根舍去)所以在(，0上有一個零點，綜上知f(x)有3個零點規(guī)律方法判斷函數零點個數的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題先畫出兩個函數的圖像，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點 (1)函數f(x)的零點個數為()A3 B2C1 D0(2)(2019·泰安模擬)已知函數f(x)若關于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是_(1)B(2)(1，)(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數f(x)共有2個零點法二：函數f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數f(x)共有2個零點(2)問題等價于函數yf(x)與yxa的圖像有且只有一個交點，作出函數f(x)的圖像(如圖所示)，結合函數圖像可知a1.函數零點的應用考法1根據零點的范圍求參數【例2】若函數f(x)log2xxk(kZ)在區(qū)間(2,3)上有零點，則k_.4函數f(x)log2xxk在(2,3)上單調遞增，所以f(2)·f(3)0，即(log222k)·(log233k)0，整理得(3k)(log233k)0，解得3k3log23，而43log235，因為kZ，故k4.考法2已知函數零點或方程根的個數求參數【例3】(2019·青島模擬)已知函數f(x)其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_(3，)作出f(x)的圖像如圖所示當x>m時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm2<m，即m23m>0.又m>0，解得m>3.規(guī)律方法已知函數的零點或方程根，求參數問題的三種方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像，然后數形結合求解 (1)函數f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)已知函數f(x)則使函數g(x)f(x)xm有零點的實數m的取值范圍是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)(1)C(2)D(1)函數f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上是增加的，又函數f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)·f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3，故選C(2)函數g(x)f(x)xm的零點就是方程f(x)mx的根，在同一坐標系中畫出函數f(x)和ymx的圖像，如圖所示，由圖像知，當m0或m1時方程f(x)mx有根，即函數g(x)f(x)xm有零點，故選D.1(2017·全國卷)已知函數f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a()ABCD1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數g(t)為偶函數f(x)有唯一零點，g(t)也有唯一零點又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)0，2a10，解得a.故選C法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當且僅當x1時取“”x22x(x1)211，當且僅當x1時取“”若a>0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點不唯一故選C2(2014·全國卷)已知函數f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf (x)3ax26x，當a3時，f (x)9x26x3x(3x2)，則當x(，0)時，f (x)>0；x時，f (x)<0；x時，f (x)>0，注意f(0)1，f >0，則f(x)的大致圖像如圖(1)所示圖(1)不符合題意，排除A、C當a時，f (x)4x26x2x(2x3)，則當x時，f (x)<0，x時，f (x)>0，x(0，)時，f (x)<0，注意f(0)1，f ，則f(x)的大致圖像如圖(2)所示圖(2)不符合題意，排除D.- 9 -