2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題考綱傳真1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC>0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義約束條件由x，y的一次不等式組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題常見(jiàn)結(jié)論1確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法把二元一次不等式AxByC0(0)表示為ykxb或ykxb的形式若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方；若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方2點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線AxByC0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)不等式x2y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是()Cx3y6<0表示直線x3y60左上方的平面區(qū)域，xy20表示直線xy20及其右下方的平面區(qū)域，故選C3點(diǎn)(2，t)在直線2x3y60的上方，則t的取值范圍是_直線2x3y60上方的點(diǎn)滿足不等式y(tǒng)x2，t×(2)2，即t.4在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_1不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.5設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_(kāi)3根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz.作出直線yx，并平移該直線，當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由圖知A(3,0)，故zmax303.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()ABCDC由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，則ABC的面積為×1×.故選C2若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()Aa<5Ba7C5a<7Da<5或a7C如圖，當(dāng)直線ya位于直線y5和y7之間(不含y7)時(shí)滿足條件，故選C3已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)直線kxy20恒過(guò)點(diǎn)(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，則A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知×2×(2k2)3，解得k.規(guī)律方法確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式(組)若滿足不等式(組)，則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域(2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí)，邊界為實(shí)線，不帶等號(hào)時(shí)，邊界應(yīng)畫(huà)為虛線，特殊點(diǎn)常取原點(diǎn)求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題考法1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例1】(1)(2018·全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_(kāi)(2)(2018·北京高考)若x，y滿足x1y2x，則2yx的最小值是_(1)6(2)3(1)畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分所示作出直線3x2y0并平移，結(jié)合圖像可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0)時(shí)，直線z3x2y在y軸上的截距最大，z取得最大值，即當(dāng)時(shí)，zmax3×206.(2)x1y2x可化為其表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，令z2yx，易知z2yx在點(diǎn)A(1，2)處取得最小值，最小值為3.考法2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2】實(shí)數(shù)x，y滿足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2)若zx2y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍解由作出可行域，如圖中陰影部分所示(1)z表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范圍是2，)(2)zx2y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方因此x2y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由得A(0,1)，所以O(shè)A2()21，OB2()25，所以z的取值范圍是1,5拓展探究(1)保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)z的取值范圍(2)保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)zx2y22x2y3的最值解(1)z可以看作過(guò)點(diǎn)P(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線的斜率，所以z的取值范圍是(，0(2)zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示點(diǎn)P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ，所以zmax213，zmin1.考法3求參數(shù)的值【例3】(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足若zxmy(m0)的最大值為4，則m_.(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組其中m0，且xy的最大值為9，則實(shí)數(shù)m_.(1)3(2)1(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示，由得B(2，2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因?yàn)閦xmy(m0)，則yxz，當(dāng)，即0m2時(shí)，zxmy在點(diǎn)A(2,0)處取得最大值2，不合題意，因此m2，此時(shí)zxmy在點(diǎn)B(2，2)處取得最大值4.所以22m4，解得m3.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)zxy，則yxz，當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，xy有最大值，此時(shí)xy9，由得A(4,5)，將A(4,5)代入xmy10得45m10，解得m1.規(guī)律方法(1)求目標(biāo)函數(shù)的最值的三個(gè)步驟作圖畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過(guò)原點(diǎn)的那一條直線平移將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求值解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值(2)常見(jiàn)的三類目標(biāo)函數(shù)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值距離型：形如z(xa)2(yb)2.表示點(diǎn)(x，y)與(a，b)的距離的平方斜率型：形如z.表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率 (1)(2019·長(zhǎng)春模擬)若x，y滿足約束條件，則zx2y的最小值為_(kāi)(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為_(kāi)(3)已知x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為10，則z的最小值為_(kāi)(1)5(2)(3)5(1)不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示由zx2y得yxz.平移直線yx，易知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí)，z有最小值，最小值為z32×45.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(0,1)連線的斜率由圖知，點(diǎn)P與點(diǎn)A連線的斜率最小，所以minkPA.(3)畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3xy0，平移l，從而可知經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)z取到最大值，由解得2×31m0，m5.由圖知，平移l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，z最小，當(dāng)x2，y2×251時(shí)，z最小，zmin3×215.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】(2017·天津高考)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬(wàn))甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式， 并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值就最大又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使總收視人次最多規(guī)律方法解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系(2)設(shè)元：設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋 (2016·全國(guó)卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)元216 000設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A為x件，產(chǎn)品B為y件，則目標(biāo)函數(shù)z2 100x900y.作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)當(dāng)直線z2 100x900y經(jīng)過(guò)點(diǎn)(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元)1(2017·全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0B3,2C0,2D0,3B畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值，即zmax202；當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范圍是3,2故選B2(2014·全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5B3C5或3D5或3B二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線xay0，可知在點(diǎn)A，處，z取得最值，因此a×7，化簡(jiǎn)得a22a150，解得a3或a5，但a5時(shí)，z取得最大值，故舍去，答案為a3，故選B3(2018·全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_(kāi)9畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示目標(biāo)函數(shù)zxy可化為yxz，作出直線yx，并平移，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值聯(lián)立，得解得所以B(5,4)，故zmax549.4(2018·全國(guó)卷)若變量x，y滿足約束條件則zxy的最大值是_3作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫(huà)出直線y3x，平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)直線x2與直線x2y40的交點(diǎn)(2,3)時(shí)，zxy取得最大值，即zmax2×33.- 13 -