2018版高考數(shù)學二輪復習 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 4數(shù)列與不等式教學案 理

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1、 4. 數(shù)列與不等式 ■要點重溫…………………………………………………………………………· 1．等差數(shù)列及其性質 (1){an}等差數(shù)列?an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2) ?2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*) ?an＝an＋b?Sn＝An2＋Bn. (2)等差數(shù)列的性質 ①an＝am＋(n－m)d； ②當m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap. ③Sn＝na1＋d＝n2＋n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． [應用1

2、]　已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為(　　) A．15　　　　 B．20 C．25 D．30 [答案]　A 2．等比數(shù)列及其性質 (1){an}等比數(shù)列? ?＝q(q為常數(shù)，q≠0)(a1≠0)?an＝a1·qn－1. [應用2]　x＝是a、x、b成等比數(shù)列的(　　) 【導學號：07804176】 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 [解析]　若x＝a＝0，x＝成立，但a、x、b不成等比數(shù)列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比數(shù)列，則x2＝ab?x＝±，所以x＝不一定成立，必

3、要性不成立．所以選D. [答案]　D (2)等比數(shù)列的性質 當m＋n＝p＋q時，則有am·an＝ap·aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am·an＝a. [應用3]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. [答案]　(1)512　(2)10 (3)求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q＝1和q≠1兩種情

4、形討論求解． [應用4]　設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是________． [解析]?、佼攓＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當q≠1時，由S3＋S6＝S9 得＋＝ ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. [答案]　1或－1 3．求數(shù)列通項的常見類型及方法 (1)已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納、猜想法． [應用5]　如圖10(1)，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦

5、去中間一段，得到圖10(2)，如此繼續(xù)下去，得圖10(3)……，試探求第n個圖形的邊長an和周長Cn. 圖10(1)　　　圖10(2)　　　　圖10(3) [答案]　an＝，Cn＝×(3×4n－1) (2)如果給出的遞推關系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項公式． (3)疊加法(迭加法)： an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1； 疊乘法(迭乘法)： ＝··……·. [應用6]　已知a1＝1，an＋1＝2nan，求an. [答案]　an＝2 (4)已知Sn與an的關系，利用關系式an＝求an. [應用

6、7]　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1，則an＝________. [解析]　當n＝1時，a1＝S1＝3. n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1. 所以an＝. [答案]　 (5)構造轉化法：轉化為等差或等比數(shù)列求通項公式． [應用8]　已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. [解析]　令x＝2，y＝2n－1，則f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－

7、1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n， 即an＝n·2n. [答案]　n·2n 4．數(shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯位相減法； (5)裂項法． 如：＝－；＝. [應用9]　求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1. [答案]　Sn＝ (6)并項法 數(shù)列求和時要明確：項數(shù)、通項，并注意根據(jù)通項的特點選取合適的方法． [應用10]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，S

8、n是{an}的前n項和，則S21的值為________. 【導學號：07804177】 [答案]　 5．研究數(shù)列{an}的單調性的方法： (1)an＋1－an ，如an＝2n－4n－5； (2) ，an＝； (3)an＝f(n)增減性，轉化為研究函數(shù)f(x)的增減性，如an＝. [應用11]　若an＝，求數(shù)列{an}中的最大項． [答案]　a3＝ 6．兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能相乘，同時要注意“同號可倒”，即a>b>0?<；a. [應用12]　若實數(shù)a，b∈R且a>b，則下列不等式恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2>b2 B．>1 C．2a>2b

9、 D．lg(a－b)>0 [解析]　根據(jù)函數(shù)的圖象(圖略)與不等式可知：當a>b時，2a>2b，故選C. [答案]　C 7．用基本不等式“≥ (a，b>0)”求最值(或值域)時，要注意到條件“一正、二定、三相等”；在解答題，遇到利用基本不等式求最值的問題，要交待清楚取等號的條件．常用技巧： (1)對不能出現(xiàn)定值的式子進行適當配湊． (2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元． (3)當題中等號條件不成立，可考慮從函數(shù)的單調性入手求最值． [應用13]　(1)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4

10、[解析]　由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4， 當且僅當＝時取等號． [答案]　D (2)已知0＜x＜1＜y，則logxy＋logyx的值域是________. 【導學號：07804178】 [答案]　(－∞，－2] (3)函數(shù)f(x)＝的值域是________． [答案]　 8．求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導致錯解，如是指已知區(qū)域內的點與點(－2,2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指

11、已知區(qū)域內的點到點(1,1)的距離的平方等．同時解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負． [應用14]　若實數(shù)x，y滿足，且x2＋y2的最大值等于34，則正實數(shù)a的值等于(　　) A． B． C． D．3 [解析]　做出可行域，如圖所示，x2＋y2表示點(x，y)與(0,0)距離的平方，由圖知，可行域中的點B離(0,0)最遠，故x2＋y2的最大值為＋32＝34?a＝，故選B. [答案]　B 9．解答不等式恒成立問題的常用方法 (1)結合二次函數(shù)的圖象和性質用判別式法，當x的取值為全體實數(shù)時，一般應用此法． (2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可

12、轉化最小值大于零． (3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來． (4)數(shù)形結合，結合圖形進行分析，從整體上把握圖形． [應用15]　如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________. 【導學號：07804179】 A．－1≤k≤0 B．－1≤k<0 C．－1

13、)]max. [應用16]　已知函數(shù)f(x)＝ ，其中a∈R，若對任意非零實數(shù)x1，存在唯一實數(shù)x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實數(shù)k的最小值為(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 [解析]　由數(shù)形結合討論知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增， ∴ ? ? ，令g(a)＝，則g(a)＝－1(0≤a<1)且g′(a)＝－(0≤a<1)， ∴g(a)在上遞減，在上遞增， 即kmin＝g＝8. [答案]　D ■查缺補漏…………………………………………………………………………· 1．已知實數(shù)x，y滿足ax

14、恒成立的是(　　) A.> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C．sin x>sin y D．x3>y3 D　[因為0y.采用賦值法判斷，A中，當x＝1，y＝0時，<1，A不成立．B中，當x＝0，y＝－1時，ln 1

15、an＝，故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋＝.] 3．已知x，y滿足約束條件 ，若z＝2x＋y的最小值為1，則實數(shù)a的值是(　　) 【導學號：07804180】 A．4 B． C．1 D．2 D　[做出可行域及直線2x＋y＝0，如圖所示．平移直線2x＋y＝0，當其經(jīng)過點A時，z＝2x＋y取得最小值；解 得 ；因為z＝2x＋y的最小值為1，所以zmin＝2×1＋＝1，a＝2，故選D. ] 4．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am＋1·am－1＝2am (m≥2)，數(shù)列{an}的前n項積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B

16、　[因為{an}是正項等比數(shù)列， 所以am＋1·am－1＝2am＝a，am＝2， 又T2m－1＝a1a2…a2m－1＝a， 所以22m－1＝512＝29，m＝5.] 5．在等差數(shù)列{an}中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項的和，則下列說法正確的是(　　) A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0 B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0 D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0 C　[由題意可知a6＋a5>0，故S10＝＝>0， 而S9＝＝＝9a

17、5<0，故選C.] 6．數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為(　　) 【導學號：07804181】 A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 D　[當n＝2k時，a2k＋1＋a2k＝4k－1； 當n＝2k－1時，a2k－a2k－1＝4k－3. 所以a2k＋1＋a2k－1＝2，所以a2k＋1＋a2k＋3＝2， 所以a2k－1＝a2k＋3，所以a1＝a5＝…＝a61. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a60 ＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝＝30×61

18、＝1 830.] 7．已知a，b都是負實數(shù)，則＋的最小值是(　　) A． B．2(－1) C．2－1 D．2(＋1) B　[＋＝ ＝1－ ＝1－≥1－＝2(－1)．] 8．已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，對任意x∈[0，＋∞)，均滿足：xf′(x)>－2f(x)．若g(x)＝x2f(x)，則不等式g(2x)0，而g(x)＝x2f(x)也為偶函數(shù)，所以g(2x)

19、)?g(|2x|)

20、在[0,3]上單調遞減，并且f>f(－m2＋2m－2)，則m的取值范圍是________． 1－≤m<　[由題設可得2－a＋3＝0，即a＝5，故f(－m2－1)>f(－m2＋2m－2)可化為f(m2＋1)>f(m2－2m＋2)，又1≤m2＋1≤3,1≤m2－2m＋2≤3，故m2＋10恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是________． (－∞，1)∪(3，＋∞)　[設f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，則f(a)>0對?a∈[－1,1]成立等價于 ，即 ，解之得x<1或x>3，即實數(shù)x的取

21、值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞)．] 12．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為________. 【導學號：07804182】 (2－，2＋)　[由指數(shù)函數(shù)圖象可得f(a)＞－1，所以g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，解得2－＜b＜2＋.] 13．設x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為6，則＋的最小值為________． 　[根據(jù)題意，畫出可行域(圖略)．將z＝ax＋by變形為：y＝－x＋(a>0，b>0)進行平移，當 ，即 時，z＝ax＋by(a>0，b>0)取最大值6，

22、所以4a＋6b＝6(a>0，b>0)，所以＋＝(4a＋6b)＝≥＝＝(當且僅當 時取“＝”)，所以最小值為.] 14．已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3＝4，{an}的前3項和為7. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：＋＋…＋≤2－. [解]　(1)設數(shù)列{an}的公比為q，由已知得q>0，且∴ ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1. (2)證明：當n＝1時，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1. 當n≥2時，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n

23、－1－3＝(2n－1)·2n－1. ∵an＝2n－1，∴當n≥2時，bn＝2n－1. ∵b1＝1＝2×1－1滿足bn＝2n－1， ∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1(n∈N*)． ∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴Sn＝n2. ∴當n＝1時，＝1＝2－. 當n≥2時，＝<＝－. ∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－ ＝2－. 15．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，a2＝，2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足：b1<0,3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn. (1)求證：數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列；

24、 (2)求證：數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列； (3)若當且僅當n＝3時，Sn取得最小值，求b1的取值范圍. 【導學號：07804183】 [解]　(1)證明：∵2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)． ∴{an}是等差數(shù)列． 又∵a1＝，a2＝， ∴an＝＋(n－1)·＝， ∵bn＝bn－1＋(n≥2，n∈N*) ∴bn＋1－an＋1＝bn＋－＝bn－＝ ＝(bn－an)． 又∵b1－a1＝b1－≠0，∴{bn－an}是b1－為首項，以為公比的等比數(shù)列． (2)證明：∵bn－an＝·，an＝. ∴bn＝·＋. 當n≥2時，bn－bn－1＝－. 又b1<0，∴bn－bn－1>0. ∴{bn}是單調遞增數(shù)列． (3)∵當且僅當n＝3時，Sn取最小值． ∴， 即，∴b1∈(－47，－11)． 11