2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第61講 條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案
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1、 第61講 條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念. 2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 2017·全國(guó)卷Ⅱ,13 2016·四川卷,12 主要考查對(duì)事件獨(dú)立性的辨識(shí)能力和根據(jù)相關(guān)概型運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力. 分值:5分 1.條件概率 (1)定義:設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱(chēng)P(B|A)=____為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率. (2)性質(zhì):①0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=__P(B|A)
2、+P(C|A)__. 2.事件的相互獨(dú)立性 (1)定義:設(shè)A,B為兩個(gè)事件,如果P(AB)=__P(A)·P(B)__,則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立. (2)性質(zhì):①若事件A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=__P(B)__,P(A|B)=P(A),P(AB)=__P(A)·P(B)__. ②如果事件A與B相互獨(dú)立,那么__A與__,__與B__,__與__也都相互獨(dú)立. 3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在__相同__條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). Ai (i=1,2,…,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2A3…An)=__P(A1)P(A2)…P(A
3、n)__. (2)二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p,此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作__X~B(n,p)__,并稱(chēng)p為_(kāi)_成功概率__.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=__Cpk(1-p)n-k__(k=0,1,2,…,n). 1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”). (1)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).( √ ) (2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B). ( × )
4、 (3)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × ) (4)若條件A與B獨(dú)立,則A與,與B,與不一定相互獨(dú)立.( × ) (5)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,“第1枚為正面”為事件A,“第2枚為正面”為事件B,則A,B相互獨(dú)立.( √ ) (6)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列,是一個(gè)用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布.( √ ) (7)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生k次的概率為Cpk.( × ) 2.一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6個(gè)數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè),某人忘記
5、了密碼的最后一位數(shù)字但記得是偶數(shù),則不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為_(kāi)___. 解析 由題意知,此人在按最后一位數(shù)字時(shí),有“0,2,4,6,8”5種可能,所以此人按前兩次的所有基本事件有n=A=20(個(gè)),不超過(guò)2次就按對(duì)的基本事件為m=CA=8(個(gè)),故P===. 3.由0,1組成的三位編號(hào)中,若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”,用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”,則P(A|B)=____. 解析 因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1,所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)=,第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0,即事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=×=,所以P(A|B)===. 4.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行
6、一次投籃,若兩人投中的概率都是0.6,則至少有一人投中的概率為_(kāi)_0.84__. 解析 由題意可得,甲、乙未投中的概率均為1-0.6=0.4,故甲、乙兩人分別進(jìn)行一次投籃均未投中的概率=0.4×0.4=0.16,故所求概率P=1-=0.84. 5.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=__1.96__. 解析 依題意,X~B(100,0.02),所以D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96. 一 條件概率 條件概率的兩種求解方法 (1)定義法:先求P(A)和
7、P(AB),再由P(B|A)=,求P(B|A). (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=. 【例1】 (1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( A ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 (2)(2018·湖北黃岡調(diào)考)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A是“取到的兩數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B是“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)
8、=( B ) A. B. C. D. (3)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形,將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)=____. 解析 (1)根據(jù)條件概率公式P(B|A)=,可得所求概率為=0.8. (2)P(A)==,P(B)==,又A?B,則P(AB)=P(B)=, 所以P(B|A)===. (3)由題意可得,事件A發(fā)生的概率P(A)===,事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”,則P(AB)===.故P(B|A)===. 二 事件的獨(dú)立性 求
9、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法:
(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解;
(2)正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.
【例2】 為了分流地鐵高峰的壓力,某市發(fā)改委通過(guò)聽(tīng)眾會(huì),決定實(shí)施低峰優(yōu)惠票價(jià)制度,不超過(guò)22千米的地鐵票價(jià)如下表.
乘坐里程x/km
0 10、機(jī)變量ξ,求ξ的分布列.
解析 (1)由題意可知,甲、乙乘車(chē)超過(guò)12千米且不超過(guò)22千米的概率分別為,,則甲、乙兩人所付乘車(chē)費(fèi)用相同的概率P1=×+×+×=,所以甲、乙兩人所付乘車(chē)費(fèi)用不相同的概率P=1-P1=1-= .
(2)由題意可知,ξ=6,7,8,9,10.
且P(ξ=6)=×=,
P(ξ=7)=×+×=,
P(ξ=8)=×+×+×=,
P(ξ=9)=×+×=,
P(ξ=10)=×=,
所以ξ的分布列為
ξ
6
7
8
9
10
P
三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程,但需要注意檢查該概率模 11、型是否滿(mǎn)足公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.
【例3】 (2018·河南開(kāi)封模擬)博彩公司曾經(jīng)對(duì)2016年NBA總決賽做了大膽地預(yù)測(cè)和分析,預(yù)測(cè)西部冠軍是老辣的馬刺隊(duì),東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊(duì),總決賽采取7場(chǎng)4勝制,每場(chǎng)必須分出勝負(fù),場(chǎng)與場(chǎng)之間的結(jié)果互不影響,只要有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)就結(jié)束比賽,前4場(chǎng),馬刺隊(duì)勝利的概率為,第5,6場(chǎng)馬刺隊(duì)因?yàn)槠骄挲g大,體能下降厲害,所以勝利的概率降 12、為,第7場(chǎng),馬刺隊(duì)因?yàn)橛卸啻未虻?場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn),所以勝利的概率為.
(1)分別求馬刺隊(duì)以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3勝利的概率及總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍的概率;
(2)隨機(jī)變量X為分出總冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.
解析 (1)設(shè)“馬刺隊(duì)以4∶0勝利”為事件A,“馬刺隊(duì)以4∶1勝利”為事件B,“馬刺隊(duì)以4∶2勝利”為事件C,“馬刺隊(duì)以4∶3勝利”為事件D,“總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍”為事件E,
則P(A)=4=,P(B)=C4×=,
P(C)=C4××+C4×2=,
P(D)=C4×3+C4×C×××+C4×××=.
P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.
(2 13、)隨機(jī)變量X的可能取值為4,5,6,7,
P(X=4)=4×2=,P(X=5)=C4·=,
P(X=6)=2C4+C4·=,
P(X=7)=1-P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)=,
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
4
5
6
7
P
1.袋中有5個(gè)小球(3白2黑),現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球,不放回地取兩次,則在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率是( C )
A. B.
C. D.
解析 在第一次取到白球的條件下,在第二次取球時(shí),袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球共4個(gè)球,故取到白球的概率P==.
2.(2018·廣東六校聯(lián)考)已知 14、甲有5張紅卡、2張藍(lán)卡和3張綠卡,乙有4張紅卡、3張藍(lán)卡和3張綠卡.他們分別從自己的10張卡片中任取一張進(jìn)行打卡游戲比賽.設(shè)事件A1,A2,A3表示甲取出的一張卡分別是紅卡、藍(lán)卡和綠卡;事件B表示乙取出的一張卡是紅卡,則下列結(jié)論中正確的是__③⑤__(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).
①P(B)=;②P(A1|B)=;③事件B與事件A1相互獨(dú)立;④A1,A2,A3是彼此相互獨(dú)立的事件;⑤A1,A2,A3是兩兩互斥的事件.
解析 因?yàn)镻(B)==,所以①錯(cuò)誤;因?yàn)槭录﨎與事件A1相互獨(dú)立,所以P(A1|B)=P(A1)==,所以②錯(cuò)誤,③正確;A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,所以④錯(cuò)誤,⑤正確. 15、
3.某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì),所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專(zhuān)業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng).甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類(lèi)票各一張.每個(gè)節(jié)目投票時(shí),甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票,每人投三類(lèi)票中的任何一類(lèi)票的概率都為,且三人投票相互沒(méi)有影響,若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票,則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng);否則,該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng).
(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率;
(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列.
解析 (1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”這一事件為A,則事件A包括:該節(jié)目可以得到兩張“獲獎(jiǎng)”票,或者得到三張“獲獎(jiǎng)”票 16、.∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票,每人投三類(lèi)票中的任何一類(lèi)票的概率都為,且三人投票相互沒(méi)有影響,
∴P(A)=C21+C3=.
(2)所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的值為0,1,2,3.
P(X=0)=3=;P(X=1)=C12=;
P(X=2)=C21=;
P(X=3)=3=.
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
P
4.在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊耕地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表.
作物產(chǎn)量/kg
300
500
概率
0.5
0.5
作物市場(chǎng)價(jià)格 17、/元·kg-1
6
10
概率
0.4
0.6
(1)設(shè)X表示在這塊耕地上種植1季此作物的利潤(rùn),求X的分布列;
(2)若在這塊耕地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率.
解析 (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4,因?yàn)槔麧?rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本,所以X所有可能的取值為
500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,
300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.
P(X=4 000)=P()P( 18、)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)·P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2.
所以X的分布列為
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)設(shè)Ci表示事件“第i(i=1,2,3)季利潤(rùn)不少于2 000元”,
由題意知C1,C2,C3相互獨(dú)立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為P(C1C2C 19、3)=P(C1)·P(C2)·P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896.
易錯(cuò)點(diǎn)1 不會(huì)使用條件概率公式解題
錯(cuò)因分析:不理解條件概率的含義,不會(huì)使用條件概率公式解題.
【例1】 假定生男生女是等可能的,某家庭有3個(gè)孩子,其中有1個(gè)女孩,求至少有1個(gè)男孩的概率.
解析 方法一 此家庭共有3個(gè)孩子,包含基本事件有(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男, 20、男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女),其中至少有1個(gè)女孩共有7種可能,其中至少有1個(gè)男孩有6種可能,故其概率為.
方法二 記事件A表示“有一名女孩”,B表示“至少有一名男孩”,則P(B|A)==.
【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·全國(guó)卷Ⅱ節(jié)選)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下.
上年度出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下.
一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)
0
21、
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;
(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.
解析 (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,
故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),故P(B| 22、A)====.
因此所求概率為.
易錯(cuò)點(diǎn)2 對(duì)二項(xiàng)分布理解不到位
錯(cuò)因分析:不能把問(wèn)題歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布模型解決問(wèn)題.
【例2】 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率.
解析 記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3,
由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,
故P(A1)=3=,
P(A2)=C2×=,
P(A3)=C22×=.
所以,甲隊(duì)以3∶0勝利 23、,以3∶1勝利的概率都為,以3∶2勝利的概率為.
【跟蹤訓(xùn)練2】 (2016·四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是 .
解析 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有一枚硬幣正面向上的概率為1-2=,且X~B,
所以均值是2×=.
課時(shí)達(dá)標(biāo) 第61講
[解密考綱]對(duì)事件的獨(dú)立性與條件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的考查在高考中三種題型均有呈現(xiàn).
一、選擇題
1.(2018·陜西西安模擬)甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦?單位:分).
甲組:76,90,84,86,81,87,86,82,85 24、,83
乙組:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A;“抽出學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)不低于85分”記為事件B,則P(AB),P(A|B)的值分別是( A )
A., B.,
C., D.,
解析 ∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=,∴P(A|B)==.
2.已知某射擊運(yùn)動(dòng)員,每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8,則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為( B )
A.0.85 B.0.819 2
C.0.8 D.0.75
解析 P=C0.83·0.2+C0.84=0. 25、819 2.
3.從甲袋中摸出1個(gè)紅球的概率為,從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率為,從兩袋中各摸出一個(gè)球,則等于( C )
A.2個(gè)球都不是紅球的概率
B.2個(gè)球都是紅球的概率
C.至少有1個(gè)紅球的概率
D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率
解析 因?yàn)閺膬蓚€(gè)袋中各摸出一個(gè)球都不是紅球的概率為×=,所以至少有1個(gè)紅球的概率為1-=.
4.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下,第2次抽到的是卡口燈泡的概率為( D )
A. B.
C. D.
解析 26、設(shè)事件A為“第1次抽到的螺口燈泡”,事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”,則P(A)=,P(AB)=×=,則所求概率為P(B|A)===.
5.袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是,從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.若A,B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2,將A,B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是,則p的值為( B )
A. B.
C. D.
解析 設(shè)A中有x個(gè)球,B中有y個(gè)球,則因?yàn)锳,B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2,將A,B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是,所以=且=,解得p=.
6.將一枚硬幣連擲5次,如果出現(xiàn)k次正面向上的概 27、率等于出現(xiàn)k+1次正面向上的概率,那么k的值為( C )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 C5=C5,∴k+(k+1)=5,k=2.
二、填空題
7.如圖所示的電路有a,b,c三個(gè)開(kāi)關(guān),每個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)或關(guān)的概率都是,且是相互獨(dú)立的,則燈泡甲亮的概率為_(kāi)___.
解析 ∵a,c閉合,b斷開(kāi),燈泡甲亮,∴概率為.
8.一盒中放有大小相同的10個(gè)小球,其中8個(gè)黑球,2個(gè)紅球,現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無(wú)放回地任意抽取2個(gè)小球,已知甲取到了2個(gè)黑球,則乙也取到2個(gè)黑球的概率是____.
解析 記事件“甲取到2個(gè)黑球”為A,“乙取到2個(gè)黑球”為B,則有P(B|A)== 28、=,即所求事件的概率是.
9.設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_(kāi)___.
解析 假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說(shuō)明試驗(yàn)成功,設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,由題意得,事件A發(fā)生的次數(shù)X~B(3,p),則有1-(1-p)3=,得p=,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××2=.
三、解答題
10.某中學(xué)為豐富教職工生活,國(guó)慶節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽,有A,B兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置,在A點(diǎn)投中一球得2分,在B點(diǎn)投中一球得3分.規(guī)則是:每人投籃三次按先A后B再A的順序各投籃一次,教師甲在A和B點(diǎn)投中的概率分別是和,且在A,B兩 29、點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立.
(1)若教師甲投籃三次,求教師甲投籃得分X的分布列;
(2)若教師乙與教師甲在A,B點(diǎn)投中的概率相同,兩人按規(guī)則各投三次,求甲勝乙的概率.
解析 (1)設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A,“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B.
依題可知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.
P(X=0)=P(··)=2×=,
P(X=2)=P(A··+··A)=C×××=,
P(X=3)=P(·B·)=××=,
P(X=4)=P(A··A)=××=,
P(X=5)=P(A·B·+·B·A)=C×××=,
P(X=7)=P(A·B·A)=××=.
則教師甲投籃得分X的分布列為 30、
X
0
2
3
4
5
7
P
(2)教師甲勝乙包括:甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形.
這五種情形之間彼此互斥,因此所求事件的概率為
P=×+×+×+×+×=.
11.(2018·湖北黃岡期末)甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè)(其中“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”各一個(gè)),現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲,規(guī)則如下:當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí),甲贏得一個(gè)福娃;否則乙贏得甲一個(gè)福娃,規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí),或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止.記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為ξ.
(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率 31、;
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).
解析 (1)當(dāng)ξ=7時(shí),“甲贏”即“第七次甲贏,前6次贏5次,且前5次中必輸1次”,依題意,每次甲贏或乙贏的概率均為,∴P(ξ=7)=2×C××4××=.
(2)設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n,則由或得:
當(dāng)m=5,n=0或m=0,n=5時(shí),ξ=5;
當(dāng)m=6,n=1或m=1,n=6時(shí),ξ=7;
當(dāng)m=7,n=2或m=2,n=7時(shí),ξ=9;
當(dāng)m=5,n=4或m=4,n=5時(shí),ξ=9;
當(dāng)m=6,n=3或m=3,n=6時(shí),ξ=9;
∴ξ的可能取值是5,7,9.
每次投擲甲贏得乙一個(gè)福 32、娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同,其概率都是.
P(ξ=5)=2×5=,P(ξ=7)=,P(ξ=9)=1-P(ξ=5)-P(ξ=7)=,
∴ξ的分布列是
ξ
5
7
9
P
E(ξ)=5×+7×+9×=.
12.(2018·福建泉州模擬)在一種電腦屏幕保護(hù)畫(huà)面中,符號(hào)“○”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn),每秒鐘變化一次,每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一,其中出現(xiàn)“○”的概率為p,出現(xiàn)“×”的概率為q.若第k次出現(xiàn)“○”,則記ak=1;出現(xiàn)“×”,則記ak=-1,令Sn=a1+a2+…+an.
(1)當(dāng)p=q=時(shí),記ξ=|S3|,求ξ 的分布列;
(2)當(dāng)p=,q=時(shí),求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.
解析 (1)因?yàn)棣危絴S3|的取值為1,3,又p=q=,
所以P(ξ=1)=C×2×2=,
P(ξ=3)=3+3=.
所以ξ的分布列為
ξ
1
3
P
(2)當(dāng)S8=2時(shí),即前八秒出現(xiàn)“○”5次,“×”3次,又已知Si≥0(i=1,2,3,4),若第一、三秒出現(xiàn)“○”,則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次;
若第一、二秒出現(xiàn)“○”,第三秒出現(xiàn)“×”,則后五秒可任意出現(xiàn)“○”3次.
故所求的概率P=(C+C)×5×3==.
15
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