《2019屆高中數(shù)學(xué) 專題1.1.1 集合的含義與表示視角透析學(xué)案 新人教A版必修1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆高中數(shù)學(xué) 專題1.1.1 集合的含義與表示視角透析學(xué)案 新人教A版必修1(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第1課時 集合的含義與表示
【雙向目標(biāo)】
課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A理解集合的概念及其三要素,理解用描述法表示集合的特點
B判斷元素與集合間的“屬于”與“不屬于”關(guān)系,利用互異性判斷元素的值
C. 能用集合語言表示一些實際生活中的集體性問題,會利用集合對實際生活的問題進(jìn)行分類
a數(shù)學(xué)抽象:數(shù)學(xué)集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b邏輯推理:集合的互異性的辨析與應(yīng)用
c數(shù)學(xué)運(yùn)算:集合相等時的參數(shù)計算,集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運(yùn)算
d 直觀想象:利用數(shù)軸表示數(shù)集、集合的圖形表示
e 數(shù)學(xué)建模:用集合思想對實際生活中的對象進(jìn)行判斷與歸類
【課標(biāo)知識】
知識提煉
基
2、礎(chǔ)過關(guān)
知識1:元素與集合的概念
1.元素:一般地,我們把研究的對象稱為元素.
2.集合:把一些元素組成的總體統(tǒng)叫作集合(簡稱為集)
3.集合相等:只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的.集合中元素的特征:確定性、無序性、互異性。
知識2:元素與集合的關(guān)系
集合通常用大寫字母表示,如A,B,C,…,元素用小寫字母表示,如a,b,c,…,元素和集合之間的專用符號是屬于(∈)或不屬于(),
知識3.常用數(shù)集及表示符號
自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集),記作:N;
(注意:0是自然數(shù))
正整數(shù)集,記作:N+或N*。
整數(shù)集,記作:Z;
理數(shù)集,記作:Q;
稱實數(shù)
3、集,記作:R。
知識4:集合常用的表示法有
(1) 列舉法:在大括號內(nèi)把集合的元素一一列舉出來,特點是適用于元素的個數(shù)較少的集合;
(2)描述法:用集合元素的屬性表示集合,其一般形式是{x|x所具有的屬性};
(3)圖形法:用韋恩圖或數(shù)軸表示集合,?
如
1下列對象能組成集合的是( )
A.中央電視臺著名節(jié)目主持人
B.我市跑得快的汽車
C.上海市所有的中學(xué)生
D.香港的高樓
2.?若且
,則???????
3.?若一個集合中的三個元素a,b,c是△ABC的三邊長, 則此三角形一定不是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C
4、.鈍角三角形 D.等腰三角形
4.下列說法中:①集合N與集合N+是同一個集合 ②集合N中的元素都是集合Z中的元素 ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素 ④集合Q中的元素都是集合R中的元素
其中正確的有________.
5.已知集合A中含有兩個元素a和a2,若1∈A,則實數(shù)a的值 .
6.已知x∈N,則方程x2+x-2=0的解集用列舉法可表示為________.
基礎(chǔ)過關(guān)參考答案:
2
1. 【解析】對A,“著名”無明確標(biāo)準(zhǔn);對B,“快”的標(biāo)準(zhǔn)不確定;對D,“高”的標(biāo)準(zhǔn)不確定,因而A、B、D均不能組
5、成集合.而對C,上海市的中學(xué)生是確定的,能組成集合.
【答案】C
2.【解析】 :因為,所以,又,所以
【答案】1
3.【解析】:根據(jù)集合中元素的互異性可知,一定不是等腰三角形.
【答案】D
【答案】{1}
【能力素養(yǎng)】
探究一 集合含義的考查
集合是由元素構(gòu)成的,因而分析集合問題,常常從元素入手。
例1.判斷下列表述是否正確,并說明理由.
(1)某個班級中年齡較小的男生組成一個集合;
(2)Z={全體整數(shù)};
(3)集合{1,2}與{2,1}相等;
(4)集合{(1,2)}與{1,2}相等.
【分析】根據(jù)集合的有關(guān)概念進(jìn)行判斷.
【解析】
6、(1)不正確,年齡較小的標(biāo)準(zhǔn)不明確,所以某個班級中年齡較小的男生不能組成一個集合.
(2)不正確,“{}”就包含了所有的含義,應(yīng)寫成Z={整數(shù)}.
(3)正確,根據(jù)集合中元素的無序性,可知集合{1,2}與{2,1}相等.
(4)不正確,集合{(1,2)}表示直角坐標(biāo)平面上的一個點(1,2),而{1,2}是1,2的集合,它們是不可能相等的.
【點評】(1)確定性是判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn).
(2)判斷集合中的元素個數(shù)時,要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個,即集合中的元素滿足互異性.
(3)集合符號“{}”已包含“所有”的意思,因而大括號內(nèi)的文字描述不應(yīng)再用“全體”“所有
7、”“全部”或“集”等詞語.
【變式訓(xùn)練】
1.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是
①所有的正三角形;
②比較接近1的數(shù)的全體;
③某校高一年級所有16歲以下的學(xué)生;
④平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點距離等于1的點的集合;
⑤所有參加2012年倫敦奧運(yùn)會的年輕運(yùn)動員;
⑥的近似值的全體.
【答案】①③④
2.下列各組對象能組成一個集合嗎?請判斷并說明理由.
(1)所有很大的實數(shù);
(2)好心的人;
(3)方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解;
(4)中國古代的四大發(fā)明;
(5)小于18的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正實數(shù);
(6)高一新生中數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué);
(7)立方接近零的
8、正數(shù);
(8)2012年倫敦奧運(yùn)會的所有比賽項目.
【解析】一組對象能否組成集合主要看這組對象是否能確定,只要研究對象是確定的,就可以構(gòu)成集合,否則就不能組成集合.
探究二 元素與集合之間的關(guān)系的應(yīng)用
元素與集合間的關(guān)系有兩種關(guān)系即;屬于“”和不屬于“”,分析時需準(zhǔn)確把握集合中所含的元素。
例2:設(shè)集合.
(1)試判斷元素1和2與集合的關(guān)系;
(2)用列舉法表示集合
【分析】(1)令,,判斷是否成立,從而判斷,是否成立.(2)令分別取自然數(shù),代入逐一確定的值,得集合.
【解析】(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,.
(2)令,1,2,3,4,代入檢驗,可得.
【點評】(1)判
9、斷所給元素是否屬于給定集合時,若在集合內(nèi),則用符號“”;若不在集合內(nèi),則用符號“”.(2)對于所給集合是常見的數(shù)集時,要注意符號的書寫規(guī)范.
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)集合,.若,,試判斷與A,B的關(guān)系.
【解析】∵,∴.
∵,∴.
∴.
又∵,∴.
從而.
【答案】,
2.若,則實數(shù)的取值范圍是 .
【解析】因為,所以2不滿足不等式,即2滿足不等式,所以,.所以實數(shù)的取值范圍是.
【答案】
探究三 元素互異性的應(yīng)用
集合中元素的互異性(即集合中的元素各不相同),它是分析集合問題的一個重要切入口。
例3:為集合的四個元素,那么以為邊長構(gòu)成的四邊形可能是(
10、 )
A.矩形 B.平行四邊形 C.菱形 D.梯形
【分析】欲判斷四邊形的形狀,需判斷四邊形的四條邊之間的關(guān)系.
【解析】由于集合中的元素具有“互異性”,故四個元素互不相同,即組成四邊形的四條邊互不相等.
【答案】D
【點評】解答本題應(yīng)抓住集合的元素具有“互異性”這一特征,由互異轉(zhuǎn)化為四邊形的四條邊互不相等.
【變式訓(xùn)練】
1.給出下列說法,其中正確的個數(shù)為( )
(1)由1,,,,這些數(shù)組成的集合有5個元素;
(2)方程的解組成的集合有3個元素;
(3)由一條邊為2,一個內(nèi)角為的等腰三角形組成的集合中含有4個元素;
(
11、4)由,,組成的三元素集合中含有,則的值是0或.
A.1 B. 2 C.3 D. 4
合中有4個元素.
(4)不正確.當(dāng)時,三個數(shù)分別為,0,,組成的集合中只有兩個元素,不合題意;當(dāng)時,三個數(shù)分別為,,,符合題意,即只能?。?
【答案】A
2.含有兩個元素的集合A可以表示為,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】根據(jù)題意可知,由集合中元素的互異性,可得,所以.即實數(shù) 的取值范圍為.
【答案】
探究四 集合的表示方法
集合作為一種數(shù)學(xué)語言,需要對它的三種表示方法充分熟悉,特別是描述法應(yīng)能準(zhǔn)確解讀。
例4:用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)
12、方程組的解集;
(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)組成的集合;
(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點組成的集合;
(4)所有的正方形組成的集合.
【分析】
【點評】所謂適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ褪禽^簡單、較明了的表示方法,用描述法表示集合時,若需要多層次描述屬性,可選用“且”與“或”等詞連接;若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母,要說明新字母的含義或指出其取值范圍.
【變式訓(xùn)練】
1.判斷:(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任何一個集合都可以用列舉法表示.( )
(2)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}.( )
(3){0,1}和{(0,1
13、)}是相同的集合.( )
【答案】× × ×
2.用另一種方法表示下列集合:
(1){絕對值不大于2的整數(shù)};
(2){能被3整除且小于10的正數(shù)};
(3);
(4);
(5);
(6){自然數(shù)中六個最小數(shù)的平方};
(7);
(8).
(6);
(7);
(8).集合為.
【課時作業(yè)】
課標(biāo) 素養(yǎng)
數(shù)學(xué)
抽象
邏輯
推理
數(shù)學(xué)
運(yùn)算
直觀
想象
數(shù)學(xué)
建模
數(shù)據(jù)
分析
A
1
1,5,7,
10,13
5
1
B
2,3,6,8
9,11,14,15
C
4
14、
12
一、選擇題
1.下列對象能構(gòu)成集合的是( )
①NBA聯(lián)盟中所有優(yōu)秀的籃球運(yùn)動員
②所有的鈍角三角形
③2005年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主
④大于等于0的整數(shù)
⑤北京師范大學(xué)的所有聰明學(xué)生
A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤ D.②③④
2.已知集合A中只有一個元素1,若|b|∈A,則b等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【解析】由題意可知|b|=1,∴b=±1.
【答案】C
3.給出下列5個關(guān)系:∈R,∈Q,0∈{0},0∈N,π∈Q,其中正確命題的個數(shù)為(
15、 )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】∈Q,π∈Q不正確.
【答案】B
4.集合{x∈Z|-1<x<5}的另一種表示形式是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【解析】集合{x∈Z|-1<x<5}={0,1,2,3,4}.
【答案】A
5.直線y=2x+1與y軸的交點所組成的集合為( )
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.{,0}
16、 D.{(,0)}
【解析】把x=0代入y=2x+1得y=1,∴交點為(0,1),選B.
【答案】B
6.已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三邊,則△ABC一定不是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
【解析】因為集合中元素具有互異性,所以a,b,c互不相等,因此選D.
【答案】D
7.集合M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指( )
A.第一象限內(nèi)的點集 B.第三象限內(nèi)的點集
C.第一、三象限內(nèi)的點集 D.第二、四象限內(nèi)的點集
17、【解析】∵xy>0,∴x、y同號,∴M表示第一、三象限內(nèi)的點集,選C.
【答案】C
8.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).選項中元素與集合的關(guān)系都正確的是( )
A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B
【答案】C
9.已知集合,則集合中元素的個數(shù)是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
【解析】用列舉法把集合中的元素一一列舉出來.
根據(jù)集
18、合中元素的互異性知,中元素有0,-1,-2,1,2,共5個.
【答案】C
二、填空題
10.已知1∈{m,m2},則實數(shù)m= .
【解析】當(dāng)m=1時,m2=1,與元素的互異性矛盾;當(dāng)m2=1時,m=-1或m=1(舍).
【答案】-1
11.設(shè)-5∈{x|x2-ax-5=0},則集合{x|x2+ax+3=0}中所有元素之和為 .
【答案】4
12.集合可用列舉法表示為 .
【解析】首先依據(jù)題意確定的值,則對分類討論.
由,得,
則有,,,,.
故用列舉法表示為.
【答案】
13.若集合A中有三個元素,x,x+1,1,集合
19、B中也有三個元素x,x+x2,x2,且A=B,則實數(shù)x的值為________.
【解析】∵A=B,
∴1=x2+x(x+1=x2,)或1=x2.(x+1=x2+x,)
解得x=±1.經(jīng)檢驗,x=1不適合集合元素的互異性,而x=-1適合.
∴x=-1.
【答案】-1
14.若集合A中含有三個元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,則實數(shù)a的值為________.
【解析】(1)若a-3=-3,則a=0,此時A={-3,-1,-4},滿足題意.
(2)若2a-1=-3,則a=-1,此時A={-4,-3,-3},不滿足元素的互異性.
(3)若a2-4=-3,則a=±1.當(dāng)a=1時,A={-2,1,-3},滿足題意;當(dāng)a=-1時,
由(2)知不合題意.
綜上可知:a=0或a=1.
【答案】0或1
三、解答題
15.已知集合A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R},
(1)若1∈A,求a的值;
(2)若A為單元素集合,求a的值;
(3)若A為雙元素集合,求a的范圍.